អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹង​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា។ អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកគ្រឹះសំខាន់ៗរួមមាន​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ sinh ) កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ cosh ) និង តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ tanh )។

និយមន័យ

sinh, cosh និង tanh

csch, sech និងcoth

• ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!$

• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!$

• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!$

• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!$

• សេកង់អ៊ីពែបូលីក

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {ix}\!$

• កូសេកង់អ៊ីពែបូលីក

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!$

ដែល $i\,$ ជាឯកតានិមិត្មនៃចំនួនកុំផ្លិច ( $i^{2}=-1\,$) ។ ទំរង់នៃចំនួនកុំផ្លិចខាងលើទាញចេញពីរូបមន្តអឺលែរ។

• សំគាល់៖ ក្នុងការបំលែងនៅក្នុងកន្សោមផ្សេងៗ $\sinh ^{2}x\,$ សំដៅលើ $(\sinh x)^{2}\,$ មិនមែន $\sinh(\sinh x)\,$ ទេ។

អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍លោការីត

• $\sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

• $\cosh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1$

• $\tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1$

• $\operatorname {sech} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right);0<x\leq 1$

• $\operatorname {csch} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)$

• $\coth ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1$

ទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗ

• $\sinh(-x)=-\sinh x\,\!$
• $\cosh(-x)=\cosh x\,\!$
• $\tanh(-x)=-\tanh x\,\!$
• $\coth(-x)=-\coth x\,\!$
• $\operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!$
• $\operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

${\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,$

${\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,$

${\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)={\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}\,$

${\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}}^{2}(x)={\frac {-1}{\sinh ^{2}(x)}}\,$

${\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch(x)}}=-\coth(x)\ {\hbox{csch(x)}}\,$

${\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech(x)}}=-\tanh(x)\ {\hbox{sech(x)}}\,$

${\frac {d}{dx}}\left(\sinh ^{-1}u\right)={\frac {1}{\sqrt {1+u^{2}}}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

${\frac {d}{dx}}\left(\cosh ^{-1}u\right)={\frac {1}{\sqrt {u^{2}-1}}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

${\frac {d}{dx}}\left(\tanh ^{-1}u\right)={\frac {1}{1-u^{2}}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

${\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {csch} ^{-1}u\right)={\frac {1}{\left|u\right|{\sqrt {1+u^{2}}}}}\cdot -{\frac {du}{dx}}$

${\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {sech} ^{-1}u\right)={\frac {1}{u{\sqrt {1-u^{2}}}}}\cdot -{\frac {du}{dx}}$

${\frac {d}{dx}}\left(\coth ^{-1}u\right)={\frac {1}{1-u^{2}}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

អាំងតេក្រាលស្តង់ដារនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

សំរាប់តារាងពេញលេញនៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក សូមមើលតារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក។

$\int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C$

$\int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C$

$\int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\cosh ax|+C$

$\int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sinh ax|+C$

$\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C$

$\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C$

$\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}$

$\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}$

$\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+c$

$\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+c$

ក្នុងកន្សោមខាងលើ C ត្រូវបានគេហៅថា ថេរអាំងតេក្រាល។

កន្សោមស៊េរីតាយល័រ

អនុគមន៍ខាងលើគ៏អាចសំដែងជាសេរីតាយល័រផងដែរ។

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

$\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (សេរីឡូរង់)

$\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (សេរីឡូរង់ Laurent series)

ដែល

$B_{n}\,$ គឺជាចំនួនប៊ែរនូយីទី $n\!$

$E_{n}\,$ គឺជាចំនួនអឺលែរទី $n\!$

លក្ខណៈដូចគ្នានឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,$

$\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,$

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,$

រូបមន្តមុំឌុប

$\sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,$

$\cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\,$

រូបមន្តកន្លះមុំ

$\cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}$

$\sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}$

$\tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x$

$\coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x$

ដេរីវេនៃ $\sinh x\,$ គឺ $\cosh x\,$ និង ដេរីវេនៃ $\cosh x\,$ គឺ $\sinh x\,$ ។

ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកនិងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ទាញចេញពីនិយមន័យនៃស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក និង កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក យើងបានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម៖

$e^{x}=\cosh x+\sinh x\!$

និង

$e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!$

ដោយផ្អែកលើរូបមន្តអឺលែរ កន្សោមទាំងនេះមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានិងកន្សោមស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ដែលវាជាផលបូកនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកចំពោះចំនួនកុំផ្លិច

ទំនាក់ទំនងចំពោះ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា​គឺត្រូវបានអោយដោយរូបមន្តអឺលែរចំពោះចំនួនកុំផ្លិច៖

$e^{ix}=\cos x+i\;\sin x$

$e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x$

ដូច្នេះ

$\cosh ix={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x$

$\sinh ix={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x$

$\tanh ix=i\tan x\,$

$\cosh x=\cos ix\,$

$\sinh x=-i\sin ix\,$

$\tanh x=-i\tan ix\,$

អនុគមន៍អ៊ីពែលីកក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

$\operatorname {sinh} (z)$	$\operatorname {cosh} (z)$	$\operatorname {tanh} (z)$	$\operatorname {coth} (z)$	$\operatorname {sech} (z)$	$\operatorname {csch} (z)$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក