រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ

ចតុកោណ

ក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ជារូបមន្តសំរាប់គណនាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ។ រូបមន្តននេះត្រូវបានរកឃើញដោយអ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិអាល្លឺម៉ង់​ឈ្មោះ Carl Anton Bretschneider (១៨០៨ - ១៨៧៨) ។

$\color {blue}S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}}$

ដែល

• a b c និង d ជារង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណ
• p ជាកន្លះបរិមាត្រ ដែល $p={\frac {a+b+c+d}{2}}\,$
• A និង C ជាមុំពីរឈមគ្នា

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ចតុកោណ ទាំងចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ និងមិនចារឹកក្នុងរង្វង់។

សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ

តាង S ជាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ ABCD ។ នោះគេបាន

${\begin{aligned}S&=S_{\triangle ADB}+S_{\triangle BDC}\\&={\tfrac {1}{2}}ab\sin A+{\tfrac {1}{2}}cd\sin C\end{aligned}}$

ហេតុនេះ

$4S^{2}=(ab)^{2}\sin ^{2}A+(cd)^{2}\sin ^{2}C+2abcd\sin A\sin C\,$

តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងបាន

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C\,$

ពីព្រោះជ្រុងទាំងពីរស្មើនឹងការ៉េនៃប្រវែងអង្កត់ទ្រូង BD ។ គេអាចសរសេរឡើងវិញ

${\tfrac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=(ab)^{2}\cos ^{2}A+(cd)^{2}\cos ^{2}C-2abcd\cos A\cos C\,$

ជំនួសវាក្នុងរូបមន្តខាងលើចំពោះ $4S^{2}\,$

$4S^{2}+{\tfrac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=(ab)^{2}+(cd)^{2}-2abcd\cos(A+C)\,$

គេអាចសរសេរវាឡើងវិញ

$16S^{2}=(c+d+a-b)(c+d+b-a)(c+a+b-d)(d+a+b-c)-16abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}$

តាង $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ (កន្លះបរិមាត្រចតុកោណ)

សមីការខាងលើក្លាយជា

$16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}$

$\Rightarrow \color {magenta}S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}}$

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺចំពោះរង្វាស់ជ្រុងនិងរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង

ចតុកោណ ABCD មានរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង m និង n

ករណីដែលគេស្គាល់រង្វស់ជ្រុង a, b, c, d និងរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង m, n នៃចតុកោណ រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺកំនត់ដោយ

$\color {magenta}{\begin{aligned}S&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4m^{2}n^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+mn)(ac+bd-mn)}}\end{aligned}}$

សំរាយបញ្ជាក់តាមលក្ខណៈវ៉ិចទ័រ

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ ABCD ដែលមាន AC និង BD ជាអង្កត់ទ្រូងកំនត់ដោយ

${\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}|{\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {BD}}|\\\Rightarrow S^{2}&={\frac {1}{4}}({\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {BD}})\cdot ({\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {BD}})\\\Rightarrow S&={\frac {1}{2}}{\sqrt {({\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}})({\overrightarrow {BD}}\cdot {\overrightarrow {BD}})-({\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BD}})^{2}}}\\\Rightarrow S&={\frac {1}{2}}{\sqrt {m^{2}n^{2}-({\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BD}})^{2}}}\qquad (*)\\\end{aligned}}$

ដោយ

${\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}$

និង

${\begin{aligned}{\overrightarrow {BD}}&={\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}}\\&={\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AD}}\\&=-({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {DA}})\end{aligned}}$

គេបាន

${\begin{aligned}2({\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BD}})&=2({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}})\cdot ({\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}})\\&=2{\overrightarrow {AB}}\cdot ({\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}})+2{\overrightarrow {BC}}\cdot ({\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}})\\&=-2{\overrightarrow {AB}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {DA}})+2{\overrightarrow {BC}}\cdot ({\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}})\\&=-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {DA}}+2{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+2{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {CD}}\\&=-2b^{2}+2c^{2}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {DA}}+2{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {CD}}\\&=-2b^{2}+2c^{2}-2({\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {DB}})\cdot {\overrightarrow {DA}}+2({\overrightarrow {BD}}+{\overrightarrow {DC}})\cdot {\overrightarrow {CD}}\\&=-2b^{2}+2c^{2}+2{\overrightarrow {AD}}\cdot {\overrightarrow {AD}}-2{\overrightarrow {BD}}\cdot {\overrightarrow {DA}}+2{\overrightarrow {BD}}\cdot {\overrightarrow {CD}}-2{\overrightarrow {CD}}\cdot {\overrightarrow {CD}}\\&=-2b^{2}+2c^{2}+2a^{2}-2d^{2}+2{\overrightarrow {BD}}\cdot (-{\overrightarrow {DA}}+{\overrightarrow {CD}})\\&=-2b^{2}+2c^{2}+2a^{2}-2d^{2}-2{\overrightarrow {BD}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\&=a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}\\\end{aligned}}$

$\Rightarrow ({\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BD}})^{2}={\frac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}\qquad (**)$

ជំនួស (**) ចូលក្នុង (*) គេបាន

$S={\frac {1}{2}}{\sqrt {m^{2}n^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}$

$\color {magenta}S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4m^{2}n^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}$

ដោយពន្លាតកន្សោម និង ផ្តុំតួឡើងវិញគេបានរូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ

$\color {magenta}{\begin{aligned}S&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4m^{2}n^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+mn)(ac+bd-mn)}}\end{aligned}}$

រូបមន្តទាក់ទង

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula) ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ដែលជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តហេរ៉ុង ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ។