ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស (ឬច្បាប់កូស៊ីនុស ឬរូបមន្តកូស៊ីនុស, Law of cosines) គឺជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុង និងកូស៊ីនុសមុំមួយនៃត្រីកោណ ។
ទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុងនិងមុំក្នុងត្រីកោណ ចំពោះ
△
A
B
C
{\displaystyle \vartriangle ABC\,}
a
=
B
C
,
b
=
C
A
,
c
=
A
B
,
α
=
∠
C
A
B
,
β
=
∠
A
B
C
,
γ
=
∠
B
C
A
{\displaystyle a=BC,\,b=CA,\,c=AB,\,\alpha =\angle CAB,\,\beta =\angle ABC,\,\gamma =\angle BCA\,}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle \color {blue}c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}
b
2
=
c
2
+
a
2
−
2
c
a
cos
β
{\displaystyle \color {blue}b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta \,}
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
{\displaystyle \color {blue}a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,}
cos
γ
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\ \,}
cos
β
=
a
2
+
c
2
−
b
2
2
c
a
{\displaystyle \cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ca}}\ \,}
cos
α
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\ \,}
[ កែប្រែ ] យើងមានត្រីកោណ ABC មានរង្វាស់ជ្រុង a, b, c និង
θ
{\displaystyle \theta \,}
A
(
b
cos
θ
,
b
sin
θ
)
,
B
(
a
,
0
)
,
{\displaystyle A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\,\,}
C
(
0
,
0
)
{\displaystyle \,\ C(0,0)\,}
c
=
(
b
cos
θ
−
a
)
2
+
(
b
sin
θ
−
0
)
2
⇒
c
2
=
(
b
cos
θ
−
a
)
2
+
(
b
sin
θ
−
0
)
2
=
b
2
cos
2
θ
−
2
a
b
cos
θ
+
a
2
+
b
2
sin
2
θ
=
a
2
+
b
2
(
sin
2
θ
+
cos
2
θ
)
−
2
a
b
cos
θ
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}c&{}={\sqrt {(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}}}\\\Rightarrow c^{2}&{}=(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}\\&{}=b^{2}\cos ^{2}\theta -2ab\cos \theta +a^{2}+b^{2}\sin ^{2}\theta \\&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta \end{aligned}}}
[ កែប្រែ ] ត្រីកោណស្រួច(មុំទាំងបីជាមុំស្រួល)ជាមួយបន្ទាត់កែង គូសបន្ទាត់មួយកែងនឹងជ្រុងដែលមានរង្វាស់ c ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន
c
=
a
cos
β
+
b
cos
α
{\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,}
(ករណីនៅតែពិតដដែលទោះបីជា α ឬ β ជាមុំទាល (មុំដែលមានតំលែនៅចន្លោះ 90° និង ១៨០°) ដែលករណីនេះបន្ទាត់កែងស្ថិតនៅក្រៅត្រីកោណ។)
ដោយគុណអង្គសងខាងនៃសមីការនឹង c យើងបាន
c
2
=
a
c
cos
β
+
b
c
cos
α
(
1
)
{\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha \,\,\,(1)}
ដូចគ្នាដោយសន្មតថាមានបន្ទាត់កែងគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀត យើងបាន
a
2
=
a
c
cos
β
+
a
b
cos
γ
{\displaystyle a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma \,}
b
2
=
b
c
cos
α
+
a
b
cos
γ
{\displaystyle b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma \,}
បូកសមីការទាំងពីរចុងក្រោយខាងលើចូលគ្នា យើងបាន
a
2
+
b
2
=
a
c
cos
β
+
b
c
cos
α
+
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma \,}
⇒
a
c
cos
β
+
b
c
cos
α
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
(
2
)
{\displaystyle \Rightarrow ac\cos \beta +bc\cos \alpha =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,\,\,(2)}
ដោយជំនួសតំលៃនៃ
(
2
)
{\displaystyle (2)\,}
(
1
)
{\displaystyle (1)\,}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}
[ កែប្រែ ] ត្រីកោណទាល(មានមុំ១ជាមុំទាល) មានកំពស់ BH ករណីមុំទាល ៖ អឺគ្លីត បានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករ ចំពោះត្រីកោណកែងទាំងពីរ (ត្រីកោណកែង AHB និងCHB ) ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ។ តាង d ជាប្រវែងអង្កត់ CH និង h ជាកពស់ BH នៃត្រីកោណ AHB យើងបាន
c
2
=
(
b
+
d
)
2
+
h
2
{\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2}\,}
និងចំពោះត្រីកោណ CHB យើងបាន
d
2
+
h
2
=
a
2
{\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}\,}
ដោយពន្លាតកន្សោមនៃសមីការទី១ខាងលើ យើងបាន
c
2
=
b
2
+
2
b
d
+
d
2
+
h
2
{\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}\,}
ដោយជំនួសទៅក្នុងសមីការទី២ខាងលើ យើងបាន
c
2
=
a
2
+
b
2
+
2
b
d
(
3
)
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd\,\,\,(3)}
ដោយបំលែងទំរង់នេះទៅជាទំរងទំនើបនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស គេបានកំនត់សំគាល់
d
=
a
cos
(
π
−
γ
)
=
−
a
cos
γ
{\displaystyle d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma \,}
ជំនួសតំលៃ d ទៅក្នុងសមីការ
(
3
)
{\displaystyle (3)\,\,}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle \color {blue}c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}
សំរាយបញ្ជាក់ខ្លីដោយប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ ចំពោះករណីមុំទាល ករណីមុំទាល ៖ អឺគ្លីដបានអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករ ចំពោះត្រីកោណកែងទាំង ពីរដែលបង្កើតដោយគូសទំលាក់បន្ទាត់មកជ្រុងដែលមានរង្វាស់ b ជាប់មុំ γ និងបានប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា ដើម្បីសំរាយអោយងាយ។
សំរាយបញ្ជាក់ម្យ៉ាងទៀតចំពោះករណីមុំទាល ៖ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករ ចំពោះត្រីកោណកែង ផ្នែកខាងធ្វេង ក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន
c
2
=
(
b
−
a
cos
γ
)
2
+
(
a
sin
γ
)
2
=
b
2
−
2
a
b
cos
γ
+
a
2
(
cos
2
γ
)
+
a
2
(
sin
2
γ
)
=
b
2
+
a
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&{}=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}(\cos ^{2}\gamma )+a^{2}(\sin ^{2}\gamma )\\&{}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}}
(ដែលតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ
cos
2
γ
+
a
2
sin
2
γ
{\displaystyle \cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \,}
[ កែប្រែ ] ដោយប្រើវិធីគណនារករង្វាស់វ៉ិចទ័រតាមរយៈផលគុណស្កាលែ នៃវ៉ិចទ័រ យើងបានបំណកស្រាយទ្រឹស្តីកូស៊ីនុសបង្ហាញដូចខាងក្រោម
c
2
{\displaystyle c^{2}\,}
=
‖
A
B
→
‖
2
{\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\lVert ^{2}}
=
‖
C
B
→
−
C
A
→
‖
2
{\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}-{\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}}
=
‖
C
B
→
‖
2
−
2
⋅
C
B
→
⋅
C
A
→
+
‖
C
A
→
‖
2
{\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\lVert ^{2}-2\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}+\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}}
=
C
B
2
−
2
⋅
|
C
B
|
⋅
|
C
A
|
cos
A
C
B
^
+
C
A
2
{\displaystyle =\mathrm {CB} ^{2}-2\cdot \left|\mathrm {CB} \right|\cdot \left|\mathrm {CA} \right|\cos {\widehat {\mathrm {ACB} }}+\mathrm {CA} ^{2}}
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}
[ កែប្រែ ] ពេល a = b មានន័យថាត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណសមបាត ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងពីរមានប្រវែងស្មើគ្នា។ នោះ
a
2
+
b
2
=
2
a
2
=
2
a
b
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=2a^{2}=2ab\,}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}
c
2
=
a
2
+
a
2
−
2
a
2
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}\cos \gamma \,}
c
2
=
2
a
2
(
1
−
cos
γ
)
{\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma )\,}
⇒
1
−
cos
γ
=
c
2
2
a
2
{\displaystyle \Rightarrow 1-\cos \gamma ={\frac {c^{2}}{2a^{2}}}\,}
⇒
cos
γ
=
1
−
c
2
2
a
2
{\displaystyle \Rightarrow \cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}\;}
តាង a,b,c ជាប្រវែងជ្រុង និង A,B,C ជាមុំ នៃត្រីកោណ ABC តាង S ជាក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC។ ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថា
cot
A
+
cot
B
+
cot
C
=
a
2
+
b
2
+
c
2
4
S
{\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C=\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}}}
ដំណោះស្រាយ
តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ
S
=
1
2
b
c
sin
A
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}bc\sin A}
ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងបាន
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
A
=
b
2
+
c
2
−
4
(
1
2
)
b
c
sin
A
⋅
cos
A
sin
A
=
b
2
+
c
2
−
4
S
cot
A
{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&{}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\\&{}=b^{2}+c^{2}-4({\frac {1}{2}})bc\sin A\cdot {\frac {\cos A}{\sin A}}\\&{}=b^{2}+c^{2}-4S\cot A\\\end{aligned}}}
ដូចគ្នាដែរ
b
2
=
a
2
+
c
2
−
4
S
cot
B
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-4S\cot B\,}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
4
S
cot
C
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-4S\cot C\,}
⇒
{
cot
A
=
b
2
+
c
2
−
a
2
4
S
cot
B
=
a
2
+
c
2
−
b
2
4
S
cot
C
=
a
2
+
b
2
−
c
2
4
S
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{cases}\cot A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4S}}\\\cot B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{4S}}\\\cot C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4S}}\\\end{cases}}}
ដូច្នេះយើងបាន
cot
A
+
cot
B
+
cot
C
=
b
2
+
c
2
−
a
2
4
S
+
a
2
+
c
2
−
b
2
4
S
+
a
2
+
b
2
−
c
2
4
S
=
a
2
+
b
2
+
c
2
4
S
{\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4S}}+{\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{4S}}+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4S}}=\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}}}
