ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា: ករណីទី១: បន្ទាត់ បីប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុច O ផ្នែកខាងក្នុងត្រីកោណ ABC ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា: ករណីទី២: បន្ទាត់ ទាំងបីប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុច O ផ្នែកខាងក្រៅត្រីកោណ ABC ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem) គឺជាទ្រឹស្តីបទធរណីមាត្រក្នុងប្លង់ ។
គេមានត្រីកោណ និងចំនុច D, E, និង F ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ រៀងគ្នា (BC), (CA), និង (AB) ។ ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាពោលថា បន្ទាត់ (AD), (BE) និង (CF) ប្រសព្វត្រង់ចំនុច តែមួយលុះត្រាតែ
A
F
F
B
⋅
B
D
D
C
⋅
C
E
E
A
=
1
{\displaystyle \color {magenta}{AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1}
វាក៏មានទំរង់ត្រីកោណមាត្រ នៃទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាផងដែរ គឺថា បន្ទាត់ (AD), (BE), (CF) ប្រសព្វត្រង់ចំនុចតែមួយលុះត្រាតែ
sin
∠
B
A
D
sin
∠
C
A
D
×
sin
∠
A
C
F
sin
∠
B
C
F
×
sin
∠
C
B
E
sin
∠
A
B
E
=
1
{\displaystyle {\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\times {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}\times {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}=1}
ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលីឈ្មោះ Giovanni Ceva ក្នុងឆ្នាំ ១៦៧៨ ប៉ុន្តែវាត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់អោយងាយស្រួលដោយអ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិអារ៉ាប់ឈ្មោះ Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd ដែលជាព្រះមហាក្សត្រនៅសតវត្សទី១១ នៃ Zaragoza ។
រួមជាមួយនឹងរូបភាពនៅខាងស្តាំ ពាក្យមួយចំនួនត្រូវបានទាញចេញពីឈ្មោះឆិវ៉ា ដូចជា: បន្ទាត់ឆិវៀន (បន្ទាត់ (AD), (BE), (CF) ឆិវៀននឹង O), ត្រីកោណឆិវ៉ា (ត្រីកោណ DEF ជាត្រីកោណឆិវ៉ានៃ O) ជាដើម។
ឧបមាថាគេមានបន្ទាត់ (AD), (BE) និង (CF) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុច O ។ ដោយសារ
△
B
O
D
{\displaystyle \triangle BOD\,}
△
C
O
D
{\displaystyle \triangle COD\,}
S
B
O
D
S
C
O
D
=
B
D
D
C
{\displaystyle {\frac {S_{BOD}}{S_{COD}}}={\frac {BD}{DC}}}
ដូចគ្នាដែរ
S
B
A
D
S
C
A
D
=
B
D
D
C
{\displaystyle {\frac {S_{BAD}}{S_{CAD}}}={\frac {BD}{DC}}}
គេបាន
B
D
D
C
=
S
B
A
D
−
S
B
O
D
S
C
A
D
−
S
C
O
D
=
S
A
B
O
S
C
A
O
{\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {S_{BAD}-S_{BOD}}{S_{CAD}-S_{COD}}}={\frac {S_{ABO}}{S_{CAO}}}}
ដូចគ្នាដែរ
C
E
E
A
=
S
B
C
O
S
A
B
O
{\displaystyle {\frac {CE}{EA}}={\frac {S_{BCO}}{S_{ABO}}}}
និង
A
F
F
B
=
S
C
A
O
S
B
C
O
{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {S_{CAO}}{S_{BCO}}}}
ដោយធ្វើប្រមាណវិធីគុណចំពោះសមីការទាំងបីខាងលើ គេបាន
A
F
F
B
⋅
B
D
D
C
⋅
C
E
E
A
=
1
{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}
ឧបមាថាគេមានចំនុច D, E និង F ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការខាងលើ។ តាង (AD) និង (BE) ជាបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាត្រង់ O និងតាង
F
′
{\displaystyle F'\,}
A
F
′
F
′
B
⋅
B
D
D
C
⋅
C
E
E
A
=
1
{\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}
ដោយប្រៀបធៀបនឹងសមភាពខាងលើ យើងបាន
A
F
′
F
′
B
=
A
F
F
B
{\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}={\frac {AF}{FB}}}
បូកអង្គសងខាងនឹង ១ និងប្រើ
A
F
′
+
F
′
B
=
A
F
+
F
B
=
A
B
{\displaystyle AF'+F'B=AF+FB=AB\,}
A
B
F
′
B
=
A
B
F
B
{\displaystyle {\frac {AB}{F'B}}={\frac {AB}{FB}}}
ហេតុនេះ
F
′
B
=
F
B
{\displaystyle F'B=FB\,}
F
{\displaystyle F\,}
F
′
{\displaystyle F'\,}
C
F
=
C
F
′
{\displaystyle CF=CF'\,}
[ កែប្រែ ] ចែកត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណតូចចំនួនបីគឺ ត្រីកោណ AOB, BOC និង COA ។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ចំពោះត្រីកោណនិមួយៗ យើងបាន
sin
∠
O
A
B
sin
∠
O
B
A
=
O
B
O
A
;
sin
∠
O
B
C
sin
∠
O
C
B
=
O
C
O
B
;
sin
∠
O
C
A
sin
∠
O
A
C
=
O
A
O
C
{\displaystyle {\frac {\sin \angle OAB}{\sin \angle OBA}}={\frac {OB}{OA}}{\text{ ; }}{\frac {\sin \angle OBC}{\sin \angle OCB}}={\frac {OC}{OB}}{\text{ ; }}{\frac {\sin \angle OCA}{\sin \angle OAC}}={\frac {OA}{OC}}}
នៅពេលយើងគុណសមីការទាំងបី អង្គខាងស្តាំនឹងស្មើ ១ ។ ស៊ីនុសចំនួន៦នៅអង្គខាងធ្វេងដោយផ្តុំតួនីមួយៗឡើងវិញនិងដាក់ជាកន្សោម គេនឹងបានទ្រឹស្តីបទទំរង់ត្រីកោណមាត្រដូចដែលបានពោល។
[ កែប្រែ ] ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាចំពោះអង្កត់ធ្នូ តាង A B C D E និង F ជា៦ចំនុចរៀងគ្នាជុំវិញបរិវេណរង្វង់មួយ នោះគេបានអង្កត់ធ្នូ ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុចតែមួយ លុះត្រាតែ
A
B
⋅
C
D
⋅
E
F
=
B
C
⋅
D
E
⋅
F
A
{\displaystyle AB\cdot CD\cdot EF=BC\cdot DE\cdot FA}
(ក) សំរាយបញ្ជាក់ ១
ឧបមាថា AD, BE, CF ប្រសព្វគ្នាត្រង់ M ។ តាមរយៈលក្ខណៈត្រីកោណដូចគ្នា យើងបានសមាមាត្រដូចតទៅ
A
B
D
E
=
M
A
M
E
{\displaystyle {\frac {AB}{DE}}={\frac {MA}{ME}}}
E
F
B
C
=
M
F
M
B
{\displaystyle {\frac {EF}{BC}}={\frac {MF}{MB}}}
C
D
F
A
=
M
C
M
A
{\displaystyle {\frac {CD}{FA}}={\frac {MC}{MA}}}
M
C
M
E
=
M
B
M
F
{\displaystyle {\frac {MC}{ME}}={\frac {MB}{MF}}}
ដោយគុណសមីការខាងលើបញ្ចូលគ្នា យើងបាន
A
B
D
E
⋅
E
F
B
C
⋅
C
D
F
A
⋅
M
C
M
E
=
M
A
M
E
⋅
M
F
M
B
⋅
M
C
M
A
⋅
M
B
M
F
{\displaystyle {\frac {AB}{DE}}\cdot {\frac {EF}{BC}}\cdot {\frac {CD}{FA}}\cdot {\frac {MC}{ME}}={\frac {MA}{ME}}\cdot {\frac {MF}{MB}}\cdot {\frac {MC}{MA}}\cdot {\frac {MB}{MF}}}
⟺
A
B
D
E
⋅
E
F
B
C
⋅
C
D
F
A
⋅
M
C
M
E
=
M
C
M
E
{\displaystyle \Longleftrightarrow {\frac {AB}{DE}}\cdot {\frac {EF}{BC}}\cdot {\frac {CD}{FA}}\cdot {\frac {MC}{ME}}={\frac {MC}{ME}}}
⟺
A
B
D
E
⋅
E
F
B
C
⋅
C
D
F
A
=
1
{\displaystyle \Longleftrightarrow {\frac {AB}{DE}}\cdot {\frac {EF}{BC}}\cdot {\frac {CD}{FA}}=1}
∴
A
B
⋅
E
F
⋅
C
D
=
D
E
⋅
B
C
⋅
F
A
{\displaystyle \therefore \quad \color {blue}AB\cdot EF\cdot CD=DE\cdot BC\cdot FA}
(ខ) សំរាយបញ្ជាក់ ២ (សំរាយច្រាស់)
ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា ឧបមាថា
A
B
⋅
C
D
⋅
E
F
=
B
C
⋅
D
E
⋅
F
A
(
1
)
{\displaystyle AB\cdot CD\cdot EF=BC\cdot DE\cdot FA\qquad (1)}
គេបានក្នុងចំនោមធ្នូ
A
B
C
^
,
C
D
E
^
,
E
F
A
^
{\displaystyle {\widehat {ABC}},\quad {\widehat {CDE}},\quad {\widehat {EFA}}}
រង្វង់ ។ ដោយសន្មតថា
C
D
E
^
{\displaystyle {\widehat {CDE}}}
C
D
E
^
{\displaystyle {\widehat {CDE}}}
តាមសំរាយបញ្ជាក់ ក ខាងលើ យើងបាន
A
B
⋅
C
X
⋅
E
F
=
B
C
⋅
X
E
⋅
F
A
(
2
)
{\displaystyle AB\cdot CX\cdot EF=BC\cdot XE\cdot FA\qquad (2)}
ដោយផ្សំជាមួយនឹង (1) យើងបាន
C
D
D
E
=
C
X
X
E
(
3
)
{\displaystyle {\frac {CD}{DE}}={\frac {CX}{XE}}\qquad (3)}
ប្រសិនបើ X មិនត្រួតស៊ីគ្នានឹង D ទេ ។ ឧបមាថាវាស្ថិតនៅលើធ្នូ
D
E
^
{\displaystyle {\widehat {DE}}}
C
D
<
C
X
{\displaystyle CD<CX\,}
D
E
>
X
E
{\displaystyle DE>XE\,}
C
D
D
E
<
C
X
X
E
{\displaystyle {\frac {CD}{DE}}<{\frac {CX}{XE}}}
ហេតុនេះ X ត្រូវតែត្រួតស៊ីគ្នានឹង D ។ ជំនួស X ដោយ D ក្នុង (2) យើងបាន
A
B
⋅
C
D
⋅
E
F
=
B
C
⋅
D
E
⋅
F
A
{\displaystyle AB\cdot CD\cdot EF=BC\cdot DE\cdot FA}
