អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ានៃលំដាប់ m គឺកំនត់ជាដេរីវេលោការីតទី (m + 1) នៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា៖

\psi ^{(m)}(z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi (z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z)

ទីនេះ

\psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}

គឺជាអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា និង $\ \Gamma (z)$ គឺជាអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា ។ អនុគមន៍ $\ \psi ^{(1)}(z)$ ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍ទ្រីហ្គាំម៉ា (trigamma function) ។

លោការីតនៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា និង អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាដំបូងមួយចំនួនក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

$\ \ln \Gamma (z)$	$\ \psi ^{(0)}(z)$	$\ \psi ^{(1)}(z)$	$\ \psi ^{(2)}(z)$	$\ \psi ^{(3)}(z)$	$\ \psi ^{(4)}(z)$

និយមន័យតាមអាំងតេក្រាល

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាអាចតំណាងជាអាំងតេក្រាល

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{(m+1)}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt

ដែលមានប្រសិទ្ធភាព Re z >0 និង m > 0 ។ ចំពោះ m = 0 សូមមើលនិយមន័យនៃអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា ។

ទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាមានទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា

\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)

ចំពោះ $m>1$ និងចំពោះ $m=0$ រូបមន្តផលគុណនៃអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា៖

k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right)

តំណាងស៊េរី

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាមានតំណាងស៊េរី

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}

ដែលមានប្រសិទ្ធភាពចំពោះ $\ m>0$ និងចំពោះចំនួនកុំផ្លិច $\ z$ មិនមែនជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន។ តំណាងនេះអាចត្រូវបានគេសរសេរបង្រួមឡើងវិញជាអនុគមន៍នៃអនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function)

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z)

អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function) អាចត្រូវបានគេស្គាល់ជាអនុគមន៍ទូទៅនៃអនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាចំពោះលំដាប់មិនមែនជាចំនួនគត់ $\mathbb {C} \backslash \mathbb {Z} ^{-}$

ស៊េរីតាយល័រ

ស៊េរីតាយល័រត្រង់ចំនុច z=1 គឺ

\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\,

ដែលទាល់ចំពោះ $\ |z|<1$ ។ ទីនេះ $\zeta (n)\,$ គឺជាអនុគមន៍ហ្សេតារីម៉ាន (Riemann zeta function)