អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា

អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាតាមបណ្តោយផ្នែកនៃអ័ក្សពិត

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា (តាងដោយអក្សរធំក្រិច Γ) ជាបន្លាយនៃអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែលចំពោះចំនួនពិត និង ចំនួនកុំផ្លិច។ ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z ដែលផ្នែកពិតជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាកំនត់ដោយ

$\color {blue}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt$

និយមន័យនេះអាចត្រូវបានគេពន្លាតចំពោះប្លង់កុំផ្លិច លើកលែងតែចំនួនគត់មិនវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះគេបាន

$\Gamma (n)=(n-1)!\,$

ទំនាក់ទំនងនេះ​បង្ហាញថា​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា​ជាប់ទាក់ទងទៅនឹង​អនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែល។ អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាផ្សារភ្ជាប់ទៅនឹងអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែលចំពោះតំលៃ n ជាចំនួនកុំផ្លិច និង មិនមែនជាចំនួនគត់។

អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាជាសមាសភាពមួយនៅក្នុងអនុគមន៍របាយប្រូបាបផ្សេងៗ និង ត្រូវបានគេទៅអនុគមន៍ក្នុងវិស័យជាច្រើននៃប្រូបាប ស្ថិតិវិទ្យា ក៏ដូចជាក្នុងវិភាគបន្សំផងដែរ។

និយមន័យ

តំលៃដាច់ខាត​(ម៉ូឌុល)​នៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិច

និមិត្តសញ្ញា $\ \Gamma (z)$ ត្រូវបានកំនត់ដោយ អាដ្រៀន ម៉ារី ឡេហ្សង់ (Adrien-Marie Legendre ) ។ ប្រសិនបើផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច z ជាចំនួនវិជ្ជមាន (Re[z] > 0) នោះអាំងតេក្រាល

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,\!$

ទាល់ជាដាច់ខាត (converges absolutely) ។ ដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេអាចបង្ហាញថា

$\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\!$

សមីការអនុគមន៍នេះសិក្សាជាទូទៅនូវទំនាក់ទំនង $\ n!=n(n-1)!$ នៃអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែល។ យើងអាចវាយតំលៃដោយការវិភាគ $\Gamma (1)\,$:

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1$

ដាក់ទំនាក់ទំនងទាំងពីរនេះបញ្ចូលគ្នា គេបានករណីពិសេសនៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ n ៖

$\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,$

និយមន័យផ្សេងទៀត

និយមន័យផលគុណមិនកំនត់ចំពោះអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា រៀងគ្នាតាមអឺលែរ និង វ៉េអែរស្ត្រាស (Weierstrass) គឺត្រឹមត្រូវចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច z ដែលមិនមែនជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន:

$\Gamma (z)=\lim _{n\to {+\infty }}{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}$

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}$

ដែល $\ \gamma$ ជាថេរអឺលែរ-ម៉ាសឆេរ៉ូនី (Euler-Mascheroni constant)

គេអាចបង្ហាញដោយចំៗថានិយមន័យអឺលែរផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ (1) ខាងលើ ។ អោយ z មិនស្មើនឹង 0, -1, -2, ...

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&=z\;\Gamma (z)\\\end{aligned}}$

វិធីផ្សេងទៀតវាអាចត្រូវបានគែបង្ហាញថា...

$\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt\,\!$

ការទាញរកទំនាក់ទំនងជាមួយហ្វាក់តូរ្យែលដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

វាជាការងាយក្នុងការរក $\ \Gamma (1)$

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=-e^{-\infty }-(-e^{0})=0-(-1)=1$

បន្ទាប់មកយើងទាញរកកន្សោម $\ \Gamma (n+1)$ ជាអនុគមន៍នៃ $\ \Gamma (n)$:

$\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx$

ដើម្បីដោះស្រាយអាំងតេក្រាលនេះ យើងប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx$

យើងឃើញថា ${\frac {-0^{n}}{e^{0}}}={\frac {0}{1}}=0$ ។

តាមច្បាប់ឡួពីតាល់ (L'Hôpital's rule) យើងបាន

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot x^{0}}{e^{x}}}=0$

ហេតុនេះតួទី១ $\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }$ មានលីមីតស្មើនឹង ០ ។ គេបាន

$\Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx$

អង្គខាងស្តាំនៃសមីការនេះមានតំលៃ $\ n\Gamma (n)$ ។ យើងទទួលបានទំនាក់ទំនង

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)$

ដោយប្រើរូបមន្ត យើងទាញបាន

$\Gamma (2)=\Gamma (1+1)=1\Gamma (1)=1!\,$

$\Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2\Gamma (2)=2\cdot 1!=2!=2\,$

$\Gamma (4)=\Gamma (3+1)=3\Gamma (3)=3\cdot 2!=3!=6\,$

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n\cdot (n-1)!=n!$

តំលៃពិសេស

ខាងក្រោមនេះជាតំលៃពិសេសមួយចំនួននៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា និង ដេរីវេរបស់វា តំលៃនៃ​ $\Gamma (1/2)$ អាចអោយគេទាញបានរូបមន្តរកតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត។

$\Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}$

ចំពោះ $z={\frac {1}{2}}\,$ គេទាញបាន:

$\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$

តាមរយៈតំលៃនេះគេអាចកំនត់បានតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត

$\Gamma (-3/2)={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}$

$\Gamma (-1/2)=-2{\sqrt {\pi }}$

$\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$

$\Gamma (1)=0!=1\,$

$\Gamma (3/2)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

$\Gamma (2)=1!=1\,$

$\Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}$

$\Gamma (3)=2!=2\,$

$\Gamma (7/2)={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}$

$\Gamma (4)=3!=6\,$

និងក្នុងករណីទូទៅ:

$\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(n-{\frac {1}{2}}\right)=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\left(n-{\frac {3}{2}}\right)\cdots {\frac {3}{2}}\,{\frac {1}{2}}\,\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!}{2^{2n}n!}}{\sqrt {\pi }}$

ទំនាក់ទំនងរវាងដេរីវេ និង $\gamma$ ថេរអឺលែរ-ម៉ាសឆេរ៉ូនី:

$\Gamma '(1/2)=-{\sqrt {\pi }}(\gamma +2\,\ln(2))$

$\Gamma '(1)=-\gamma \,$

$\Gamma '(2)=1-\gamma \,$

$\Gamma ''(1/2)={\sqrt {\pi }}(\gamma +2\,\ln(2))^{2}+{\frac {\pi ^{5/2}}{2}}$

$\Gamma ''(1)=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\Gamma ''(2)=(1-\gamma )^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1$