អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាតាមបណ្តោយផ្នែកនៃអ័ក្សពិត
ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា (តាងដោយអក្សរធំក្រិច Γ) ជាបន្លាយនៃអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែលចំពោះចំនួនពិត និង ចំនួនកុំផ្លិច។ ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z ដែលផ្នែកពិតជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាកំនត់ដោយ
![{\displaystyle \color {blue}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5be6d7da059f70a86940317f90b8e0125e76b0)
និយមន័យនេះអាចត្រូវបានគេពន្លាតចំពោះប្លង់កុំផ្លិច លើកលែងតែចំនួនគត់មិនវិជ្ជមាន។
ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះគេបាន
![{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5961abb0aa63959e3b8016761eed5e7fef8265ac)
ទំនាក់ទំនងនេះបង្ហាញថាអនុគមន៍ហ្គាំម៉ាជាប់ទាក់ទងទៅនឹងអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែល។ អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាផ្សារភ្ជាប់ទៅនឹងអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែលចំពោះតំលៃ n ជាចំនួនកុំផ្លិច និង មិនមែនជាចំនួនគត់។
អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាជាសមាសភាពមួយនៅក្នុងអនុគមន៍របាយប្រូបាបផ្សេងៗ និង ត្រូវបានគេទៅអនុគមន៍ក្នុងវិស័យជាច្រើននៃប្រូបាប ស្ថិតិវិទ្យា ក៏ដូចជាក្នុងវិភាគបន្សំផងដែរ។
តំលៃដាច់ខាត(ម៉ូឌុល)នៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ាក្នុងប្លង់កុំផ្លិច
និមិត្តសញ្ញា
ត្រូវបានកំនត់ដោយ អាដ្រៀន ម៉ារី ឡេហ្សង់ (Adrien-Marie Legendre ) ។ ប្រសិនបើផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច z ជាចំនួនវិជ្ជមាន (Re[z] > 0) នោះអាំងតេក្រាល
![{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46106fe7b79df5446ae620e3f8ea2ae1b65a69e8)
ទាល់ជាដាច់ខាត (converges absolutely) ។ ដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេអាចបង្ហាញថា
![{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b18717b9a19cf335e00f318238363cdbc6d28e6)
សមីការអនុគមន៍នេះសិក្សាជាទូទៅនូវទំនាក់ទំនង
នៃអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែល។ យើងអាចវាយតំលៃដោយការវិភាគ
:
![{\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd319965dedc1242a57a863f9e2e14349c78c93)
ដាក់ទំនាក់ទំនងទាំងពីរនេះបញ្ចូលគ្នា គេបានករណីពិសេសនៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ n ៖
![{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1494bf98f9cfe927110f67fcebbcc166f74f443c)
និយមន័យផលគុណមិនកំនត់ចំពោះអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា រៀងគ្នាតាមអឺលែរ និង វ៉េអែរស្ត្រាស (Weierstrass) គឺត្រឹមត្រូវចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច z ដែលមិនមែនជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន:
![{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to {+\infty }}{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000c3619a6159713a58c499462f563743cbdbb9b)
![{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a63d00d1b91885dcc8d856c61aaf108b9917793e)
ដែល
ជាថេរអឺលែរ-ម៉ាសឆេរ៉ូនី (Euler-Mascheroni constant)
គេអាចបង្ហាញដោយចំៗថានិយមន័យអឺលែរផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ (1) ខាងលើ ។ អោយ z មិនស្មើនឹង 0, -1, -2, ...
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&=z\;\Gamma (z)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3b5f2ab48f75d813966f13fe7dcfc7e57dba79)
វិធីផ្សេងទៀតវាអាចត្រូវបានគែបង្ហាញថា...
![{\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cbc05a7409c9574b0c0e34c2992a7a00636005)
ការទាញរកទំនាក់ទំនងជាមួយហ្វាក់តូរ្យែលដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
[កែប្រែ]
វាជាការងាយក្នុងការរក
![{\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=-e^{-\infty }-(-e^{0})=0-(-1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e1b8f28cc96ec65791d8efbb4c57ac4f23c6c3)
បន្ទាប់មកយើងទាញរកកន្សោម
ជាអនុគមន៍នៃ
:
![{\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f189d43116520452e78867c0f4883d1bf7be0c)
ដើម្បីដោះស្រាយអាំងតេក្រាលនេះ យើងប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b863f56f41b5433a28d741027009c3cf6e4dbc9)
យើងឃើញថា
។
តាមច្បាប់ឡួពីតាល់ (L'Hôpital's rule) យើងបាន
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot x^{0}}{e^{x}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9e61c796681646c9902ea82399f1ecd633ccfa)
ហេតុនេះតួទី១
មានលីមីតស្មើនឹង ០ ។ គេបាន
![{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa5a4278aff6d9cabf8ecb54cf06ad764d0d2bb)
អង្គខាងស្តាំនៃសមីការនេះមានតំលៃ
។ យើងទទួលបានទំនាក់ទំនង
![{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065de9477336586759720e3e00ead10e8eb664b2)
ដោយប្រើរូបមន្ត យើងទាញបាន
![{\displaystyle \Gamma (2)=\Gamma (1+1)=1\Gamma (1)=1!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4d3a8b05d3617757e547909d605460fe80136a)
![{\displaystyle \Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2\Gamma (2)=2\cdot 1!=2!=2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7920e4b4783095bdf7a4b289f9da5ad27c784c68)
![{\displaystyle \Gamma (4)=\Gamma (3+1)=3\Gamma (3)=3\cdot 2!=3!=6\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e638f7da5c4be2a8fcc9c29cd564a683ca407a)
![{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n\cdot (n-1)!=n!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d94d816dc7e0e449edee893195bc49bf499904)
ខាងក្រោមនេះជាតំលៃពិសេសមួយចំនួននៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា និង ដេរីវេរបស់វា តំលៃនៃ
អាចអោយគេទាញបានរូបមន្តរកតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត។
![{\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d24a83fd35834c0438595c14e0805276ffffe4)
ចំពោះ
គេទាញបាន:
![{\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75337a521eb1fcd407b39db28c38ca6f559ab3b2)
តាមរយៈតំលៃនេះគេអាចកំនត់បានតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
និងក្នុងករណីទូទៅ:
|
|
ទំនាក់ទំនងរវាងដេរីវេ និង ថេរអឺលែរ-ម៉ាសឆេរ៉ូនី:
|
|
|
|
|
|
|