ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ

គេមានត្រីកោណ ABC មានកំពស់ AH = h រង្វាស់ជ្រុង a, b និង c (BC = a, AC = b, AB = c) និងមុំរៀងគ្នា A, B និង C ។ ដូចនេះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC អាចកំនត់តាមរូបមន្តខាងក្រោម៖

$S={\frac {1}{2}}ah\,$
$S={\frac {1}{2}}ab\sin C$ (ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស)
$S={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}$
$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ (រូបមន្តហេរុង)
ដែល $p={\frac {a+b+c}{2}}\,$ (p ជាកន្លះបរិមាត្រ)
$S={\frac {f\times g}{2}}-{\frac {v\times w}{2}}$
(f, g, v, w ជារង្វាស់ប្រវែងបង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ)
$S={\frac {1}{2}}|(x_{B}\cdot y_{A}-x_{A}\cdot y_{B})+(x_{C}\cdot y_{B}-x_{B}\cdot y_{C})+(x_{A}\cdot y_{C}-x_{C}\cdot y_{A})|$
ប្រសិនបើកំពូលត្រីកោណគឺជាចំនួនចំនុច (ចំនួនចំនុចជាចំនួនគត់) នៅលើផ្ទៃជាក្រលា នោះគេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកំនត់ដោយ
S = ចំនួនចំនុចដែលស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណ + កន្លះដងនៃចំនួនចំនុចនៅតាមគែមនៃជ្រុងត្រីកោណ − ១

សំរាយបញ្ជាក់[កែប្រែ]

(១). ក្រលាផ្ទៃ = $S={\frac {1}{2}}ah\,$ (ពាក់កណ្តាលនៃកំពស់គុណនឹងបាត)

សំរាយបញ្ជាក់ថា $S={\frac {1}{2}}ah\,$

$h\,$ ជាកំពស់នៃត្រីកោណ ដែលបាតមានរង្វាស់ស្មើ $a\,$ (បាតជាជ្រុងឈមនឹងកំពស់)។

ចតុកោណកែងធំ (ចតុកោណ $A'BCA''\,$ )បង្កើតបានជាចតុកោណកែងតូចៗចំនួនពីរ (ចតុកោណ $A'BHA\,$ និង $AHCA''\,$ )ដែលមានក្រលាផ្ទៃ $d\times h$ និង $e\times h$ (ក្រលាផ្ទៃចតុកោណស្មើនឹង ទទឹងគុណបណ្តោយ) ។ ដូចនេះក្រលាផ្ទៃត្រីកោណធំ (ត្រីកោណ ABC ) បង្ហើតបានជាត្រីកោណកែងតូចចំនួនពីរ (ត្រីកោណ ABH និង AHC) ដែលក្រលាផ្ទៃរបស់វាស្មើនឹងកន្លះក្រលាផ្ទៃចតុកោណកែងតូច។ មានន័យថា

ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូច ( $\triangle ABH\,$ ) = កន្លះក្រលាផ្ទៃចតុកោណកែង( $A'BHA\,$ ) = ${\frac {1}{2}}d\times h$

S_{ABH}={\frac {1}{2}}S_{A'BHA}={\frac {1}{2}}dh

ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូច ( $\triangle AHC$ ) = កន្លះក្រលាផ្ទៃចតុកោណកែង( $ABHA''\,$ ) = ${\frac {1}{2}}e\times h$

S_{AHC}={\frac {1}{2}}S_{ABHA''}={\frac {1}{2}}eh

ក្រលាផ្ទៃធំស្មើនឹងផលបូកនៃក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូចទាំងពីរ

S_{ABC}=S_{ABH}+S_{AHC}={\frac {1}{2}}dh+{\frac {1}{2}}eh={\frac {1}{2}}(d+e)h

ដោយ $d+e=a\,$ គេបាន

\color {blue}S_{ABC}={\frac {1}{2}}ah

(២). ក្រលាផ្ទៃ = $S={\frac {1}{2}}ab\sin C$

AHC ជាត្រីកោណកែង នោះគេបានកំពស់ $AH=h=b\cdot sinC$ ។ ដោយប្រើលទ្ធផលសំរាយបញ្ជាក់ខាងលើ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

S_{ABC}={\frac {1}{2}}ah={\frac {1}{2}}ab\sin C

ដូចគ្នាដែរ បើ $h_{b}\,$ ជាកំពស់គូសចេញពីកំពូល $B\,$ និង $h_{c}\,$ ជាកំពស់គូសចេញពីកំពូល $C\,$ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

S_{ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ac\sin B

S_{ABC}={\frac {1}{2}}ch_{c}={\frac {1}{2}}bc\sin A

ដូចនេះ ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ក្នុងករណីគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងពីរ និង មុំមួយនៃត្រីកោណ កំនត់ដោយ

\color {blue}S_{ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin A={\frac {1}{2}}ac\sin B={\frac {1}{2}}ab\sin C

(៣). ក្រលាផ្ទៃ = $S={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}$

ក្នុងលទ្ធផលនៃសំរាយបញ្ជាក់ (២) ខាងលើ មិនមានករណីពិសេសអំពីមុំនិងបន្ទាត់ជាប់មុំត្រូវបានប្រើប្រាស់ទេ។ តាមសំរាយបញ្ជាក់ (២) ខាងលើ ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់

S_{ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin A={\frac {1}{2}}ac\sin B={\frac {1}{2}}ab\sin C

\Rightarrow {\frac {abc}{2S_{ABC}}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}

(ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស)

ដូចនេះយើងអាចប្រើ $b={\frac {a\sin B}{\sin A}}\,$ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ $S_{ABC}={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin A}}\qquad (i)\,$

ដោយផលបូករង្វាស់មុំទាំងបីនៃត្រីកោណស្មើនឹង ១៨០^០ $\Rightarrow A+B+C=\pi \qquad \Rightarrow A=\pi -B-C$ និង $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha \,$ គេបាន $\sin A=\sin(B+C)\qquad (ii)\,$

ជំនួស (ii) ក្នុង (i) គេបាន

S_{ABC}={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}

ដូចគ្នាដែរ

S_{ABC}={\frac {b^{2}\sin A\sin C}{2\sin(A+C)}}

S_{ABC}={\frac {c^{2}\sin A\sin B}{2\sin(A+B)}}

ហេតុនេះ

\color {blue}S_{ABC}={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}={\frac {b^{2}\sin A\sin C}{2\sin(A+C)}}={\frac {c^{2}\sin A\sin B}{2\sin(A+B)}}

(៤). ក្រលាផ្ទៃ = $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

ដែល $p={\frac {a+b+c}{2}}\,$ (p ជាកន្លះបរិមាត្រ)

ចំពោះសំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តនេះ សូមមើលរូបមន្តហេរុង!!!

(៥). ក្រលាផ្ទៃ = $S={\frac {f\times g}{2}}-{\frac {v\times w}{2}}$

ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ស្មើនឹងក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដែលហ៊ុំព័ទ្ធត្រីកោណ ABC ដកនឹងក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងទាំងបីនៅតាមជ្រុងនៃចតុកោណចេញ។ ហេតុនេះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

{\begin{aligned}S_{ABC}&=f\cdot g-{\frac {f\cdot (g-w)}{2}}-{\frac {(f-v)\cdot g}{2}}-{\frac {(f-v)\cdot (g-w)}{2}}\\&={\frac {f\cdot g}{2}}-{\frac {v\cdot w}{2}}\end{aligned}}

វាជាករណីដ៏ស្មុគស្មាញប្រសិនកំពូលនៃត្រីកោណមិនស្ថិតនៅលើជ្រុងនៃចតុកោណកែងដែលហ៊ុំព័ទ្ធត្រីកោណនោះទេ (ដោយសារមានមុំមួយជាមុំទាល)។ ប៉ុន្តែលទ្ធផលរក្សាតំលៃដដែលក្នុងករណីនេះ ដែលរង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណកែងដែលហ៊ុំព័ទ្ធទៅជា f+v និង g+w ហើយរង្វាស់ជ្រុងមួយនៃត្រីកោណក្លាយជាអង្កត់ទ្រួងនៃចតុកោណកែង។

(៦). ក្រលាផ្ទៃ = $S={\frac {1}{2}}|(x_{B}\cdot y_{A}-x_{A}\cdot y_{B})+(x_{C}\cdot y_{B}-x_{B}\cdot y_{C})+(x_{A}\cdot y_{C}-x_{C}\cdot y_{A})|$

តាមរយៈរូបខាងស្តាំ $f=x_{B}-x_{C},\quad g=y_{A}-y_{C},\quad v=x_{A}-x_{C}$ និង $w=y_{B}-y_{C}\,$ ។

តាមរូបមន្តទី(៥) ខាងលើ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

S_{ABC}=={\frac {f\times g}{2}}-{\frac {v\times w}{2}}={\frac {(x_{B}-x_{C})\cdot (y_{A}-y_{C})}{2}}-{\frac {(x_{A}-x_{C}\cdot (y_{B}-y_{C})}{2}}

ប៉ុន្តែលទ្ធផលនៃការគណនារូបមន្តខាងលើអាចអវិជ្ជមាន អាស្រ័យនឹងទិសដៅនៃមុំដែលត្រូវកំនត់យក។ ហេតុនេះចាំបាត់ត្រូវបំបាត់តំលៃដាច់ខាត គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកំនត់ដោយ

{\frac {1}{2}}|(x_{B}\cdot y_{A}-x_{A}\cdot y_{B})+(x_{C}\cdot y_{B}-x_{B}\cdot y_{C})+(x_{A}\cdot y_{C}-x_{C}\cdot y_{A}))|

ដោយបូកត្រីកោណទាំងអស់បញ្ចូលគ្នា គេទទួលបានពហុកោណសាមញ្ញមួយ។

(៧). ក្រលាផ្ទៃ = S = ចំនួនចំនុចដែលស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណ + ពាក់កណ្តាលនៃចំនួនចំនុចនៅតាមគែមនៃជ្រុងត្រីកោណ − ១

ចំពោះចតុកោណកែងដែលគែមរបស់វាមានប្រវែង x និង y ស្ថិតនៅតាមក្រលា នោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងគឺ $xy\,$ ។ ចំនួននៃចំនុចស្ថិតនៅចំផ្នែកក្នុងដោយមិនលំអៀងនៃចតុកោណកែងគឺ $(x-1)(y-1)\,$ ខណៈដែលចំនួនចំនុចនៅលើគែមនៃចតុកោណកែងគឺ $2x+2y\,$ ។

ពីព្រោះ $(x-1)(y-1)+(2x+2y)-1=xy\,$ ជាលទ្ធផលត្រឹមត្រូវចំពោះចតុកោណកែងនៃទំរង់នេះ។

ចំពោះត្រីកោណកែងដែលគែមដែលខ្លីមានប្រវែង x និង y ស្ថិតនៅតាមផ្ទៃនៃក្រលា នោះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងគឺ ${\frac {1}{2}}xy\,$ ពីព្រោះវា និង រង្វិលរបស់វាប៉ុនគ្នា ហើយរួមគ្នាបង្កើតបានចតុកោណកែងមួយដែលពុះច្រៀកដោយអង្កត់ទ្រួងនៃចតុកោណកែងនោះ។ ចំនួននៃចំនុចដែលស្ថិតនៅចំផ្នែកក្នុងត្រីកោណកែងឥតល្អៀងគឺ ${\frac {(x-1)(y-1)}{2}}-{\frac {z}{2}}$ ដែល z ជាចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើអង្កត់ទ្រូង (ប៉ុន្តែមិនស្ថិតនៅលើកំពូលទេ) ខណៈដែលចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើគែមគឺ $x+y+z+1\,$ ។

ពីព្រោះ $(x-1){\frac {(y-1)}{2}}-{\frac {z}{2}}+(x+y+z+1)-1={\frac {xy}{2}}\,$ គឺជាលទួ្ធផលត្រឹមត្រូវចំពោះត្រីកោណកែងនៃទំរង់នេះ។

យើងអាចប្រើបច្ចេកទេសពុះបំបែកនេះដើម្បីដកចំនួននៃត្រីកោណកែងណាមួយចេញពីចតុកោណកែង ដោយមិនចាំបាច់មានកន្លះចតុកោណកែង ពីព្រោះក្រលាផ្ទៃនៃទ្រង់ទ្រាយដែលនៅសល់ បូក នឹងក្រលាផ្ទៃត្រីកោណកែងនោះគឺជាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដើម។ ចំនួនចំនុចដែលស្ថិតនៅលើគែមនៃទ្រង់ទ្រាយដែលនៅសល់ និង ចំនួនចំនុច នៅលើគែមនៃត្រីកោណកែង គឺស្មើនឹង ផលបូកនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែមនៃចតុកោណកែង ជាមួយនឹងពីរដងនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែម និងជាមួយនឹង ពីរដងនៃចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើត្រីកោណកែង។ ចំនួនចំនុចស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃទ្រង់ទ្រាយដែលនៅសល់ និង ផ្នែកខាងក្នុងនៃត្រីកោណកែងគឺស្មើនឹងចំនួនចំនុចស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃចតុកោណកែងដែលតិចជាងចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើគែមមួយ។ ហេតុនេះចំពោះទ្រង់ទ្រាយដែលនៅសល់ដែលករណីនេះជាករណីត្រីកោណទូទៅ លទ្ធផលគឺថាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណគឺជាចំនួនចំនុចស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃត្រីកោណបូកនឹងកន្លះដងនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែម ដកនឹង ១ ចេញ។

ដោយដាក់ត្រីកោណបញ្ចូលរួមគ្នា គេអាចទទួលបានលទ្ធផលទូទៅចំពោះពហុកោណសាមញ្ញផងដែរជាមួយនឹងកំពូលត្រង់ចំនុចដែលជាចំនួនគត់នៅលើផ្ទៃនៃក្រលា។