គេមានត្រីកោណ ABC មានកំពស់ AH = h រង្វាស់ជ្រុង a, b និង c (BC = a, AC = b, AB = c) និងមុំ រៀងគ្នា A, B និង C ។ ដូចនេះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC អាចកំនត់តាមរូបមន្តខាងក្រោម៖
S
=
1
2
a
h
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah\,}
S
=
1
2
a
b
sin
C
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin C}
(ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស )
S
=
a
2
sin
B
sin
C
2
sin
(
B
+
C
)
{\displaystyle S={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}}
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}
(រូបមន្តហេរុង )
p
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}\,}
S
=
f
×
g
2
−
v
×
w
2
{\displaystyle S={\frac {f\times g}{2}}-{\frac {v\times w}{2}}}
S
=
1
2
|
(
x
B
⋅
y
A
−
x
A
⋅
y
B
)
+
(
x
C
⋅
y
B
−
x
B
⋅
y
C
)
+
(
x
A
⋅
y
C
−
x
C
⋅
y
A
)
|
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}|(x_{B}\cdot y_{A}-x_{A}\cdot y_{B})+(x_{C}\cdot y_{B}-x_{B}\cdot y_{C})+(x_{A}\cdot y_{C}-x_{C}\cdot y_{A})|}
ប្រសិនបើកំពូលត្រីកោណគឺជាចំនួនចំនុច (ចំនួនចំនុចជាចំនួនគត់) នៅលើផ្ទៃជាក្រលា នោះគេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកំនត់ដោយ S = ចំនួនចំនុចដែលស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណ + កន្លះដងនៃចំនួនចំនុចនៅតាមគែមនៃជ្រុងត្រីកោណ − ១ (១). ក្រលាផ្ទៃ =
S
=
1
2
a
h
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah\,}
(ពាក់កណ្តាលនៃកំពស់គុណនឹងបាត)សំរាយបញ្ជាក់ថា
S
=
1
2
a
h
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah\,}
h
{\displaystyle h\,}
កំពស់នៃត្រីកោណ ដែលបាតមានរង្វាស់ស្មើ
a
{\displaystyle a\,}
ចតុកោណកែង ធំ (ចតុកោណ
A
′
B
C
A
″
{\displaystyle A'BCA''\,}
A
′
B
H
A
{\displaystyle A'BHA\,}
A
H
C
A
″
{\displaystyle AHCA''\,}
d
×
h
{\displaystyle d\times h}
e
×
h
{\displaystyle e\times h}
ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូច (
△
A
B
H
{\displaystyle \triangle ABH\,}
A
′
B
H
A
{\displaystyle A'BHA\,}
1
2
d
×
h
{\displaystyle {\frac {1}{2}}d\times h}
S
A
B
H
=
1
2
S
A
′
B
H
A
=
1
2
d
h
{\displaystyle S_{ABH}={\frac {1}{2}}S_{A'BHA}={\frac {1}{2}}dh}
ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូច (
△
A
H
C
{\displaystyle \triangle AHC}
A
B
H
A
″
{\displaystyle ABHA''\,}
1
2
e
×
h
{\displaystyle {\frac {1}{2}}e\times h}
S
A
H
C
=
1
2
S
A
B
H
A
″
=
1
2
e
h
{\displaystyle S_{AHC}={\frac {1}{2}}S_{ABHA''}={\frac {1}{2}}eh}
ក្រលាផ្ទៃធំស្មើនឹងផលបូកនៃក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូចទាំងពីរ
S
A
B
C
=
S
A
B
H
+
S
A
H
C
=
1
2
d
h
+
1
2
e
h
=
1
2
(
d
+
e
)
h
{\displaystyle S_{ABC}=S_{ABH}+S_{AHC}={\frac {1}{2}}dh+{\frac {1}{2}}eh={\frac {1}{2}}(d+e)h}
ដោយ
d
+
e
=
a
{\displaystyle d+e=a\,}
S
A
B
C
=
1
2
a
h
{\displaystyle \color {blue}S_{ABC}={\frac {1}{2}}ah}
(២). ក្រលាផ្ទៃ =
S
=
1
2
a
b
sin
C
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin C}
AHC ជាត្រីកោណកែង នោះគេបានកំពស់
A
H
=
h
=
b
⋅
s
i
n
C
{\displaystyle AH=h=b\cdot sinC}
S
A
B
C
=
1
2
a
h
=
1
2
a
b
sin
C
{\displaystyle S_{ABC}={\frac {1}{2}}ah={\frac {1}{2}}ab\sin C}
ដូចគ្នាដែរ បើ
h
b
{\displaystyle h_{b}\,}
B
{\displaystyle B\,}
h
c
{\displaystyle h_{c}\,}
C
{\displaystyle C\,}
S
A
B
C
=
1
2
b
h
b
=
1
2
a
c
sin
B
{\displaystyle S_{ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ac\sin B}
S
A
B
C
=
1
2
c
h
c
=
1
2
b
c
sin
A
{\displaystyle S_{ABC}={\frac {1}{2}}ch_{c}={\frac {1}{2}}bc\sin A}
ដូចនេះ ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ក្នុងករណីគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងពីរ និង មុំមួយនៃត្រីកោណ កំនត់ដោយ
S
A
B
C
=
1
2
b
c
sin
A
=
1
2
a
c
sin
B
=
1
2
a
b
sin
C
{\displaystyle \color {blue}S_{ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin A={\frac {1}{2}}ac\sin B={\frac {1}{2}}ab\sin C}
(៣). ក្រលាផ្ទៃ =
S
=
a
2
sin
B
sin
C
2
sin
(
B
+
C
)
{\displaystyle S={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}}
ក្នុងលទ្ធផលនៃសំរាយបញ្ជាក់ (២) ខាងលើ មិនមានករណីពិសេសអំពីមុំនិងបន្ទាត់ ជាប់មុំត្រូវបានប្រើប្រាស់ទេ។ តាមសំរាយបញ្ជាក់ (២) ខាងលើ ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់
S
A
B
C
=
1
2
b
c
sin
A
=
1
2
a
c
sin
B
=
1
2
a
b
sin
C
{\displaystyle S_{ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin A={\frac {1}{2}}ac\sin B={\frac {1}{2}}ab\sin C}
⇒
a
b
c
2
S
A
B
C
=
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {abc}{2S_{ABC}}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}
(ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស )ដូចនេះយើងអាចប្រើ
b
=
a
sin
B
sin
A
{\displaystyle b={\frac {a\sin B}{\sin A}}\,}
S
A
B
C
=
a
2
sin
B
sin
C
2
sin
A
(
i
)
{\displaystyle S_{ABC}={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin A}}\qquad (i)\,}
ដោយផលបូករង្វាស់មុំទាំងបីនៃត្រីកោណស្មើនឹង ១៨០០
⇒
A
+
B
+
C
=
π
⇒
A
=
π
−
B
−
C
{\displaystyle \Rightarrow A+B+C=\pi \qquad \Rightarrow A=\pi -B-C}
sin
(
π
−
α
)
=
sin
α
{\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha \,}
sin
A
=
sin
(
B
+
C
)
(
i
i
)
{\displaystyle \sin A=\sin(B+C)\qquad (ii)\,}
ជំនួស (ii) ក្នុង (i) គេបាន
S
A
B
C
=
a
2
sin
B
sin
C
2
sin
(
B
+
C
)
{\displaystyle S_{ABC}={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}}
ដូចគ្នាដែរ
S
A
B
C
=
b
2
sin
A
sin
C
2
sin
(
A
+
C
)
{\displaystyle S_{ABC}={\frac {b^{2}\sin A\sin C}{2\sin(A+C)}}}
S
A
B
C
=
c
2
sin
A
sin
B
2
sin
(
A
+
B
)
{\displaystyle S_{ABC}={\frac {c^{2}\sin A\sin B}{2\sin(A+B)}}}
ហេតុនេះ
S
A
B
C
=
a
2
sin
B
sin
C
2
sin
(
B
+
C
)
=
b
2
sin
A
sin
C
2
sin
(
A
+
C
)
=
c
2
sin
A
sin
B
2
sin
(
A
+
B
)
{\displaystyle \color {blue}S_{ABC}={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}={\frac {b^{2}\sin A\sin C}{2\sin(A+C)}}={\frac {c^{2}\sin A\sin B}{2\sin(A+B)}}}
(៤). ក្រលាផ្ទៃ =
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}
ដែល
p
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}\,}
ចំពោះសំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តនេះ សូមមើលរូបមន្តហេរុង
(៥). ក្រលាផ្ទៃ =
S
=
f
×
g
2
−
v
×
w
2
{\displaystyle S={\frac {f\times g}{2}}-{\frac {v\times w}{2}}}
ក្រលាផ្ទៃ នៃត្រីកោណ ABC ស្មើនឹងក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដែលហ៊ុំព័ទ្ធត្រីកោណ ABC ដកនឹងក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងទាំងបីនៅតាមជ្រុងនៃចតុកោណចេញ។ ហេតុនេះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ
S
A
B
C
=
f
⋅
g
−
f
⋅
(
g
−
w
)
2
−
(
f
−
v
)
⋅
g
2
−
(
f
−
v
)
⋅
(
g
−
w
)
2
=
f
⋅
g
2
−
v
⋅
w
2
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{ABC}&=f\cdot g-{\frac {f\cdot (g-w)}{2}}-{\frac {(f-v)\cdot g}{2}}-{\frac {(f-v)\cdot (g-w)}{2}}\\&={\frac {f\cdot g}{2}}-{\frac {v\cdot w}{2}}\end{aligned}}}
វាជាករណីដ៏ស្មុគស្មាញប្រសិនកំពូលនៃត្រីកោណ មិនស្ថិតនៅលើជ្រុងនៃចតុកោណកែង ដែលហ៊ុំព័ទ្ធត្រីកោណនោះទេ (ដោយសារមានមុំមួយជាមុំទាល)។ ប៉ុន្តែលទ្ធផលរក្សាតំលៃដដែលក្នុងករណីនេះ ដែលរង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណកែងដែលហ៊ុំព័ទ្ធទៅជា f+v និង g+w ហើយរង្វាស់ជ្រុងមួយនៃត្រីកោណក្លាយជាអង្កត់ទ្រួងនៃចតុកោណកែង។
(៦). ក្រលាផ្ទៃ =
S
=
1
2
|
(
x
B
⋅
y
A
−
x
A
⋅
y
B
)
+
(
x
C
⋅
y
B
−
x
B
⋅
y
C
)
+
(
x
A
⋅
y
C
−
x
C
⋅
y
A
)
|
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}|(x_{B}\cdot y_{A}-x_{A}\cdot y_{B})+(x_{C}\cdot y_{B}-x_{B}\cdot y_{C})+(x_{A}\cdot y_{C}-x_{C}\cdot y_{A})|}
តាមរយៈរូបខាងស្តាំ
f
=
x
B
−
x
C
,
g
=
y
A
−
y
C
,
v
=
x
A
−
x
C
{\displaystyle f=x_{B}-x_{C},\quad g=y_{A}-y_{C},\quad v=x_{A}-x_{C}}
w
=
y
B
−
y
C
{\displaystyle w=y_{B}-y_{C}\,}
តាមរូបមន្តទី(៥) ខាងលើ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ
S
A
B
C
==
f
×
g
2
−
v
×
w
2
=
(
x
B
−
x
C
)
⋅
(
y
A
−
y
C
)
2
−
(
x
A
−
x
C
⋅
(
y
B
−
y
C
)
2
{\displaystyle S_{ABC}=={\frac {f\times g}{2}}-{\frac {v\times w}{2}}={\frac {(x_{B}-x_{C})\cdot (y_{A}-y_{C})}{2}}-{\frac {(x_{A}-x_{C}\cdot (y_{B}-y_{C})}{2}}}
ប៉ុន្តែលទ្ធផលនៃការគណនារូបមន្តខាងលើអាចអវិជ្ជមាន អាស្រ័យនឹងទិសដៅនៃមុំដែលត្រូវកំនត់យក។ ហេតុនេះចាំបាត់ត្រូវបំបាត់តំលៃដាច់ខាត គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកំនត់ដោយ
1
2
|
(
x
B
⋅
y
A
−
x
A
⋅
y
B
)
+
(
x
C
⋅
y
B
−
x
B
⋅
y
C
)
+
(
x
A
⋅
y
C
−
x
C
⋅
y
A
)
)
|
{\displaystyle {\frac {1}{2}}|(x_{B}\cdot y_{A}-x_{A}\cdot y_{B})+(x_{C}\cdot y_{B}-x_{B}\cdot y_{C})+(x_{A}\cdot y_{C}-x_{C}\cdot y_{A}))|}
ដោយបូកត្រីកោណ ទាំងអស់បញ្ចូលគ្នា គេទទួលបានពហុកោណសាមញ្ញមួយ។
(៧). ក្រលាផ្ទៃ = S = ចំនួនចំនុចដែលស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណ + ពាក់កណ្តាលនៃចំនួនចំនុចនៅតាមគែមនៃជ្រុងត្រីកោណ − ១ ចំពោះចតុកោណកែង ដែលគែមរបស់វាមានប្រវែង x និង y ស្ថិតនៅតាមក្រលា នោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងគឺ
x
y
{\displaystyle xy\,}
(
x
−
1
)
(
y
−
1
)
{\displaystyle (x-1)(y-1)\,}
2
x
+
2
y
{\displaystyle 2x+2y\,}
ពីព្រោះ
(
x
−
1
)
(
y
−
1
)
+
(
2
x
+
2
y
)
−
1
=
x
y
{\displaystyle (x-1)(y-1)+(2x+2y)-1=xy\,}
ចតុកោណកែង នៃទំរង់នេះ។
ចំពោះត្រីកោណកែង ដែលគែមដែលខ្លីមានប្រវែង x និង y ស្ថិតនៅតាមផ្ទៃនៃក្រលា នោះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងគឺ
1
2
x
y
{\displaystyle {\frac {1}{2}}xy\,}
ចតុកោណកែង មួយដែលពុះច្រៀកដោយអង្កត់ទ្រួង នៃចតុកោណកែងនោះ។ ចំនួននៃចំនុចដែលស្ថិតនៅចំផ្នែកក្នុងត្រីកោណកែងឥតល្អៀងគឺ
(
x
−
1
)
(
y
−
1
)
2
−
z
2
{\displaystyle {\frac {(x-1)(y-1)}{2}}-{\frac {z}{2}}}
x
+
y
+
z
+
1
{\displaystyle x+y+z+1\,}
ពីព្រោះ
(
x
−
1
)
(
y
−
1
)
2
−
z
2
+
(
x
+
y
+
z
+
1
)
−
1
=
x
y
2
{\displaystyle (x-1){\frac {(y-1)}{2}}-{\frac {z}{2}}+(x+y+z+1)-1={\frac {xy}{2}}\,}
យើងអាចប្រើបច្ចេកទេសពុះបំបែកនេះដើម្បីដក ចំនួននៃត្រីកោណកែង ណាមួយចេញពីចតុកោណកែង ដោយមិនចាំបាច់មានកន្លះចតុកោណកែង ពីព្រោះក្រលាផ្ទៃ នៃទ្រង់ទ្រាយដែលនៅសល់ បូក នឹងក្រលាផ្ទៃត្រីកោណកែងនោះគឺជាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដើម។ ចំនួនចំនុចដែលស្ថិតនៅលើគែមនៃទ្រង់ទ្រាយដែលនៅសល់ និង ចំនួនចំនុច នៅលើគែមនៃត្រីកោណកែង គឺស្មើនឹង ផលបូកនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែមនៃចតុកោណកែង ជាមួយនឹងពីរដងនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែម និងជាមួយនឹង ពីរដងនៃចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើត្រីកោណកែង។ ចំនួនចំនុចស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃទ្រង់ទ្រាយដែលនៅសល់ និង ផ្នែកខាងក្នុងនៃត្រីកោណកែងគឺស្មើនឹងចំនួនចំនុចស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃចតុកោណកែង ដែលតិចជាងចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើគែមមួយ។ ហេតុនេះចំពោះទ្រង់ទ្រាយដែលនៅសល់ដែលករណីនេះជាករណីត្រីកោណទូទៅ លទ្ធផលគឺថាក្រលាផ្ទៃ នៃត្រីកោណ គឺជាចំនួនចំនុចស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃត្រីកោណ បូកនឹងកន្លះដងនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែម ដកនឹង ១ ចេញ។
ដោយដាក់ត្រីកោណបញ្ចូលរួមគ្នា គេអាចទទួលបានលទ្ធផលទូទៅចំពោះពហុកោណ សាមញ្ញផងដែរជាមួយនឹងកំពូលត្រង់ចំនុចដែលជាចំនួនគត់ នៅលើផ្ទៃនៃក្រលា។
.png)