ត្រីកោណកែង

ត្រីកោណកែងគឺជាត្រីកោណដែលមានមុំមួយមានរង្វាស់ស្មើនឹង ៩០ដឺក្រេ ( $\ {\frac {\pi }{2}}$ រ៉ាដ្យង់ ដែលជាមុំកែង)។ ក្នុងត្រីកោណកែងជ្រុងដែលឈមនឹងមុំកែងហៅថាអ៊ីប៉ូតេនុស។ ក្នុងរូបខាងស្តាំ ជ្រុង [BC] គឺជាអ៊ីប៉ូតេនុស។ រីឯជ្រុងដែលជាប់នឹងមុំកែងហៅថាកាតែត (Cathete)។ ជ្រុង [AB] ហៅថាជ្រុងជាប់នឹងមុំ $\ \alpha$ ជ្រុង [AC] ជាជ្រុងជាប់នឹងមុំ $\ \beta$ និងឈមនឹងមុំ $\ \alpha$ ។ ជ្រុង [AB] អាចថាជាកាតែតជ្រុងជាប់ធៀបនឹងមុំ $\ \alpha$ ខណៈដែលជ្រុង [AC] ជាកាតែតជ្រុងឈម។ រង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណកែងនេះផ្ទៀងផ្ទាត់ទ្រឹស្តីបទពីតាករ៖

\ \color {blue}AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}

ចំណាប់អារម្មណ៍

ចំណេះដឹងទៅលើត្រីកោណកែង និង ទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុងនិងមុំ អាចឱ្យយើងដោះស្រាយចំនោទជាច្រើន ។ ឧទាហរណ៍៖

គេអាចពុះបំបែកត្រីកោណមួយជាពីរត្រីកោណកែង
ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ $(O,{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }})$ គេមានចំណុច M មួយមានចំណោលកែងមកលើអ័ក្ស $(O,{\vec {\imath }})$ ត្រង់ H និងលើអ័ក្ស $(O,{\vec {\jmath }})$ ត្រង់ I ។ គេបានត្រីកោណ OHM និង OMI ជាត្រីកោណកែង
ពីចំណុចនៃវ៉ិចទ័រ ${\vec {v}}$ ដែលបំបែកជា
${\vec {v}}=x_{v}\cdot {\vec {\imath }}+y_{v}\cdot {\vec {\jmath }}$
វ៉ិចទ័រ $(x_{v}\cdot {\vec {\imath }},y_{v}\cdot {\vec {\jmath }},{\vec {v}})$ បង្កើតបានត្រីកោណកែង
លក្ខណៈទូទៅ ត្រីកោណមាត្រជាប់ទំនាក់ទំនងនឹងត្រីកោណកែង។

លក្ខណៈនៃត្រីកោណកែង

ក្រលាផ្ទៃ

នៅក្នុងគ្រប់ត្រីកោណ ដើម្បីគណនាក្រលាផ្ទៃត្រីកោណកែង គេគុណកំពស់នឹងជ្រុងបាតដែលត្រូវនឹងកំពស់នោះរួចចែកនឹង ២ ។ ប្រសិនបើ ABC ជាត្រីកោណកែងត្រង់ A ជ្រុងនិមួយៗ AB និង AC ជាកំពស់នៃត្រីកោណកែងនេះ ដែលបាតជាជ្រុងផ្សេងនៃមុំកែង (AB ជាកំពស់ នាំអោយ AC ជាជ្រុងបាតនៃកំពស់នេះ) ។ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងនេះកំនត់ដោយ៖

\ S={\frac {AB\times AC}{2}}

ឧទាហរណ៍៖ គេមានត្រីកោណកែងត្រង់ A ដែល AB = 4cm ; AC = 3cm និងអ៊ីប៉ូតេនុស BC = 5cm ។ ដូចនេះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកែង ABC គឺ $\ S={\frac {4\times 3}{2}}={\frac {12}{2}}=6cm^{2}$ ។

ទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ

ទ្រឹស្តីបទពីតាករចែកថា៖

ប្រសិនបើ ABC ជាត្រីកោណកែងត្រង់ A គេបាន ការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុសស្មើនឹងផលបូកការ៉េនៃជ្រុងពីរទៀតដែលជាប់នឹងមុំកែង។ បើក្នុងត្រីកោណ ABC ផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនង

\ BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}

នោះគេអាចថាត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណកែងត្រង់ A ។

ទ្រឹស្តីបទនេះជាវិបាកនៃនិយមន័យនៃចំងាយរវាងពីរចំនុចដោយទាញចេញពីការ៉េស្កាលែរនៃវ៉ិចទ័ររបស់វា។ គេបាន

BC^{2}={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}=\left({\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\right)\cdot \left({\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\right)

BC^{2}={\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BA}}+2{\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AC}}=AB^{2}+AC^{2}

នៅពេល ${\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0$ នោះគេបានវ៉ិចទ័រ ${\overrightarrow {BA}}$ និង ${\overrightarrow {AC}}$ អរតូកូណាល់នឹងគ្នា (កែងគ្នា)។

ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

ចំពោះត្រីកោណកែង ទ្រឹស្តីបទមេដ្យានពោលថា៖

ប្រសិនបើ M ជាចំនុចកណ្តាលនៃអ៊ីប៉ូតេនុស គេបាន

\ AM={\frac {1}{2}}BC

។ គេអាចនិយាយបានថា ចំនុច A ស្ថិតនៅលើរង្វង់ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត [BC] ។ ច្រាស់មកវិញ ប្រសិនបើចំនុច A ជាចំនុចមួយនៃរង្វង់អង្កត់ផ្ចិត [BC] នោះត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណកែងត្រង់ A ។

មានសំរាយបញ្ជាក់ច្រើនចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ។ គេអាចស្រាយបញ្ជាក់តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រសុទ្ធ៖ តាមនិយមន័យ M ជាចំនុចកណ្តាល [BC] ។ ត្រីកោណកែង ABC គឺជាកន្លះចតុកោណកែង ABCD ។ ចតុកោណកែងគឺជាប្រលេឡូក្រាម ហេតុនេះអង្កត់ទ្រូងរបស់វាកាត់គ្នាត្រង់ចំនុចកណ្តាល ។ នាំអោយ M ជាចំនុចកណ្តាលនៃ [BC] ហើយក៏ជាចំនុចកណ្តាលនៃ [AD] ផងដែរ។ អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរនៃចតុកោណកែងគឺមានប្រវែងស្មើគ្នា គឺ $\ AD=BC$ និង $\ AM={\frac {AD}{2}}={\frac {BC}{2}}$ ។

គេក៏អាចប្រើវ៉ិចទ័របានដែរ៖

{\overrightarrow {AM}}={\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {BC}}

និង

{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}

ដែល:

{\overrightarrow {AM}}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})

វ៉ិចទ័រចុងក្រោយទាំងពីរកែងគ្នា គេបាន $\ AM^{2}={\frac {(AB^{2}+AC^{2})}{4}}$

ម្យ៉ាងវិញទៀត ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណ ABC គេទទួលបាន $\ BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ ។ ចុងបញ្ចប់៖ $\ AM={\frac {BC}{2}}$ ។

គេអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទមុំផ្ចិត ដែលអាចជួយស្រាយបំភ្លឺច្រាស់មកវិញ។ គេមានរង្វង់ផ្ចិត O ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC ។ តាមទ្រឹស្តីបទមុំផ្ចិត មុំ BOC ធំជាងមុំ BAC ទ្វេដង។ ដូចនេះ

{\widehat {BOC}}=2{\widehat {BAC}}=\pi

នាំអោយចំនុច B, O និង C កូលីនេអ៊ែរនឹងគ្នា (ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ) ។ លើសពីនេះទៅទៀត BO=OC យើងឃើញថា O ជាចំនុចកណ្តាល [BC] ។ នាំអោយ O=M (O និង M ត្រួតស៊ីគ្នា) ។

ច្រាស់មកវិញ ប្រសិនបើគេដឹងថា A គឺជាចំនុចមួយនៅលើរង្វង់អង្កត់ផ្ចិត [BC] ។ តាមទ្រឹស្តីបទមុំផ្ចិត មុំ BAC ស្មើពាក់កណ្តាលនៃមុំ BOC នោះមុំ BAC មានតំលៃស្មើនឹង $\ {\frac {\pi }{2}}$ ។ ដូចនេះត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណកែងត្រង់ A ។

ទ្រឹស្តីបទនេះមានលក្ខណៈទូទៅចំពោះត្រីកោណមួយចំនួន។ សូមមើលបន្ថែមនូវទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន ។

ទីប្រជុំទំងន់

គេមាន ABC ជាត្រីកោណកែងត្រង់ A និង M ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង [BC] ទីប្រជុំទំងន់ G នៃត្រីកោណកែង ABC ផ្ទៀងផ្ទាត់៖

\ {\overrightarrow {AG}}={\frac {2}{3}}{\overrightarrow {AM}}

M ត្រូវបានគេចោលចំនោលទៅកណ្តាលនៃ [AB] និង [AC] (ABM និង ACM ជាត្រីកោណសមបាត) ។ ដូចនេះចំនុច G ជាចំនោលមួយភាគបីនៃ [AB] និង [AC]

\ {\overrightarrow {AG}}={\frac {1}{3}}({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})