អនុគមន៍បែតា

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍បែតា ឬហៅថាអាំងតេក្រាលអយលឺនៃប្រភេទទី១ (អាំងតេក្រាលអយល័រ, Euler integral) គឺជាអនុគមន៍កំនត់ដោយ

$\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!$

ចំពោះ ${\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0\,$

អនុគមន៍បែតាត្រូវបានសិក្សាដោយអយល័រ (ឬអឺលែរ) និង គណិតវិទូបារាំង អាដ្រៀន ម៉ារី ឡឺហ្សង់ (Adrien-Marie Legendre) និងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះដោយគណិតវិទូ រូបវិទូ និង តារាវិទូ ជនជាតិ​បារាំង លោក ហ្សាក់ ប៊ីណេ (Jacques Binet) ។

លក្ខណៈនៃអនុគមន៍បែតា

អនុគមន៍បែតាជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រី មានន័យថា $\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)\!$

អនុគមន៍បែតាមានទំរង់ជាច្រើនរួមមាន:

• $\mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!$

• $\mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!$

• $\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!$

• $\mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}}\!$

• $\mathrm {B} (x,y)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}\!$

• $\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\!$

ដែល $\Gamma \,$ គឺជាអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា (gamma function) ។ សមភាពទី២បង្ហាញករណីពិសេស $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$ ។

ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍បែតា និង អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា

ដើម្បីទាញរកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍បែតា យើងត្រូវសរសេរផលគុណហ្វាក់តូរ្យែលជា

$\Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv\!$

តាង $u\equiv a^{2}$ និង $v\equiv b^{2}$ យើងបាន

${\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,db\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,da\,db\end{aligned}}\!$

បំលែងវាទៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេប៉ូលែរដោយ $a=r\cos \theta$ និង $b=r\sin \theta$:

${\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,dr\,d\theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,dr\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,d\theta \\&{}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,d(r^{2})4\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)2\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y)\end{aligned}}$

ហេតុនេះ សរសេរឡើងវិញនូវអាគុយម៉ង់ជាមួយនឹងទំរង់ធម្មតានៃអនុគមន៍បែតា យើងបាន

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

${\begin{aligned}\Rightarrow {\Gamma (x)\Gamma (y)}&{}=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt\int _{0}^{\infty }s^{y-1}e^{-s}\,ds\\&{}=\int _{t=0}^{\infty }\int _{s=0}^{\infty }\ t^{x-1}s^{y-1}e^{-(t{+}s)}\,ds\,dt\end{aligned}}$

អាគុយម៉ង់ក្នុងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជំរុញអោយយើងប្រើវិធីជំនួស

${\begin{aligned}{\begin{array}{l}\sigma =s{+}t\\\tau =t\end{array}}\quad \Rightarrow \quad |J|=1\end{aligned}}$

ដែល $J$ ជាយ៉ាកូប៊ីនៃបំលែង។ ដោយប្រើបំលែងនេះយើងទាញបាន

${\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{\sigma =0}^{\infty }\int _{\tau =0}^{\sigma }\ \tau ^{x{-}1}(\sigma {-}\tau )^{y-1}e^{-\sigma }\,d\tau \,d\sigma \\&{}=\int _{\sigma =0}^{\infty }\int _{\tau =0}^{\sigma }\ \tau ^{x{-}1}\,\sigma ^{y{-}1}\,{\Big (}1{-}{\frac {\tau }{\sigma }}{\Big )}^{y{-}1}e^{-\sigma }\,d\tau \,d\sigma \end{aligned}}$

ដោយប្រៀបធៀបនឹងអនុគមន៍បែតា $\mathrm {B} (x,y)\,$ យើងបាន

$r=\displaystyle {\frac {\tau }{\sigma }},\ q=\sigma$    ដែលយ៉ាកូប៊ី   $\ |J|=q$

គេទាញបាន

${\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{q=0}^{\infty }\int _{r=0}^{1}\,q\ (rq)^{x{-}1}\,q^{y{-}1}\,(1{-}r)^{y{-}1}\,e^{-q}\,dr\,dq\\&=\int _{q=0}^{\infty }\int _{r=0}^{1}\ r^{x{-}1}\,(1{-}r)^{y{-}1}\,q^{x{+}y{-}1}\,e^{-q}\,dr\,dq\\&=\int _{0}^{\infty }q^{x{+}y{-}1}\,e^{-q}\,dq\ \int _{0}^{1}r^{x{-}1}(1{-}r)^{y{-}1}\,dr\\&=\Gamma (x+y)\,\mathrm {B} (x,y)\end{aligned}}$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បែតា

ដេរីវេនៃអនុមន៍បែតាកំនត់ដោយ

${\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))$

ដែល $\ \psi (x)$ ជាអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា (digamma function) ។

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញជាអនុគមន៍ទូទៅ​នៃ​អនុគមន៍បែតា​ដែលជំនួសអាំងតេក្រាលកំនត់នៃអនុគមន៍បែតាដោយអាំងតេក្រាលមិនកំនត់។ ករណីនេះ​គឺ​ដូចគ្នា​នឹង​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាមិនពេញលេញ​ដែរ ដែលវាជាអនុគមន៍ទូទៅនៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា។

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញកំនត់ដោយ

$\mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt\!$

ចំពោះ $x=1\,$ អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញត្រូវគ្នានឹងអនុគមន៍បែតាពេញលេញ (មានន័យថាវាជាអនុគមន៍បែតា) ។

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ​ដែលត្រូវបានគេធ្វើអោយទៀងទាត់​ត្រូវបានគេកំនត់ជាអនុគមន៍​នៃ​អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ និង អនុគមន៍បែតាពេញលេញ។

$I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}\!$

ជាមួយនឹងអាំងតេក្រាល (ដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក) ចំពោះតំលៃជាចំនួនគត់ a និង b គេបាន

$I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}$

លក្ខណៈនៃអនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ

$I_{0}(a,b)=0\,$

$I_{1}(a,b)=1\,$

$I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,$