អាំងតេក្រាលឌីរិចឡេ

អាំងតេក្រាលឌីរិចឡេ (បារាំង: intégrale de Dirichlet) គឺជាអាំងតេក្រាលនៃ​អនុគមន៍ស៊ីនុសកាឌីណាល់​លើកន្លះបន្ទាត់នៃអ័ក្សពិតផ្នែកវិជ្ជមានកំនត់ដោយ

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

គេអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើអាំងតេក្រាលហ្វួរា (Fourier integral) ។ វាក៏អាចត្រូវបានគេគណនាយ៉ាងងាយដោយប្រើការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ការធ្វើដេរីវេ) ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល។

សំរាយបញ្ជាក់ដោយការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល

ដំបូងយើងនឹងសរសេរអាំងតេក្រាលឡើងវិញជាអនុគមន៍នៃចំនួនថេរ $\ \alpha$ និង $\ \omega$ ។

តាង $f(\alpha )=\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega$

បន្ទាប់មកយើងរក $\ f(0)$

ដោយការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាម $\ \alpha$ យើងបាន

${\frac {df}{d\alpha }}={\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega$

ដោយអនុវត្ត​ក្បួនអាំងតេក្រាលឡេបនីស (Leibniz Integral Rule) យើងបាន

${\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega =\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial \alpha }}e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega =-\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }\sin \omega \,d\omega$

អាំងតេក្រាលអាចគណនាបានយ៉ាងងាយដោយប្រើរូបមន្តអយល័រ (Euler's formula)

$\ e^{i\omega }=\cos \omega +i\sin \omega$

នោះយើងបាន

$\Im e^{i\omega }=\sin \omega$ ដែល $\Im$ តំណាងអោយផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច​។

សរសេរអាំងតេក្រាលឡើងវិញយើងបាន

$-\Im \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }e^{i\omega }d\omega =\Im {\frac {1}{-\alpha +i}}=\Im {\frac {-\alpha -i}{\alpha ^{2}+1}}={\frac {-1}{\alpha ^{2}+1}}$

ហេតុនេះ

${\frac {df}{d\alpha }}={\frac {-1}{\alpha ^{2}+1}}$

ធ្វើអាំងតេក្រាលអង្គទាំងសងខាងពី $0$ ទៅ $\infty$ យើងបាន

$\int _{0}^{\infty }{\frac {df}{d\alpha }}d\alpha =\int _{0}^{\infty }{\frac {-1}{\alpha ^{2}+1}}d\alpha$

$f(\infty )-f(0)=-\arctan \infty +\arctan 0$

$f(0)={\frac {\pi }{2}}+f(\infty )$

ចំនាំថា $f(\infty )=\lim _{\alpha \rightarrow \infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega =0$

ហេតុនេះ

$f(0)={\frac {\pi }{2}}$

ដូចនេះ

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega ={\frac {\pi }{2}}$