អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

ដោយវិគីភីឌា

នៅក្នុងគណិតវិទ្យាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ ឬអនុគមន៍ស៊ីក្លូមេទ្រីក គឺជាអនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ អនុគមន៍ច្រាស់សំខាន់ៗត្រូវបានដាក់បញ្ចូលក្នុងតារាងខាងក្រោម។

ឈ្មោះ កំនត់សំគាល់ទូទៅ និយមន័យ ដែនកំនត់នៃ x ចំពោះលទ្ធផលពិត ចន្លោះនៃតំលៃគោលទូទៅ
អាកស៊ីនុស y = arcsin(x) x = sin(y) ពី −1 ដល់ +1 −π/2 ≤ y ≤ π/2
អាកកូស៊ីនុស y = arccos(x) x = cos(y) ពី −1 ដល់ +1 0 ≤ y ≤ π
អាកតង់សង់ y = arctan(x) x = tan(y) ទាំងអស់ −π/2 < y < π/2
អាកកូតង់សង់ y = arccot(x) x = cot(y) ទាំងអស់ 0 < y < π
អាកសេកង់ y = arcsec(x) x = sec(y) ពី −∞ ដល់ −1 ឬ ពី 1 ដល់ ∞ 0 ≤ y < π/2 ឬ π/2 < y ≤ π
អាកកូសេកង់ y = arccsc(x) x = csc(y) ពី −∞ ដល់ −1 ឬ ពី 1 ដល់ ∞ −π/2 ≤ y < 0 ឬ 0 < y ≤ π/2

ប្រសិនបើ x ជាចំនួនកុំផ្លិច នោះដែនកំនត់នៃ y អាចអនុវត្តបានតែចំពោះផ្នែកពិតប៉ុណ្ណោះ។

កំនត់សំគាល់ ជាដើម ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ចំពោះ arcsin, arccos ជាដើម។ ប៉ន្តែការសន្មតនេះវាអាចធ្វើអោយមានការភាន់ច្រលំជាមួយ​កន្សោមមួយចំនួនដូចជា

តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arcsin(x) និង f(x) = arccos(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត
តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arctan(x) និង f(x) = arccot(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត
តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arcsec(x) និង f(x) = arccsc(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត

ទំនាក់ទំនងក្នុងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់[កែប្រែ]

<math>\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x </math>


<math>\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x </math>


<math>\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x </math>

ចំពោះមុំផ្ទុយ

<math>\arcsin (-x) = - \arcsin x \!</math>
<math>\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!</math>
<math>\arctan (-x) = - \arctan x \!</math>
<math>\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!</math>
<math>\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!</math>
<math>\arccsc (-x) = - \arccsc x \!</math>

ចំពោះមុំចំរាស់:

<math>\arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x </math>


<math>\arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x </math>


<math>\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \ </math> ប្រសិនបើ <math>\ x > 0</math>


<math>\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \ </math> ប្រសិនបើ <math>\ x < 0</math>


<math>\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ </math>

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់[កែប្រែ]

ចំពោះតែតំលៃនៃ

ចំពោះដេរីវេធម្មតា៖ ប្រសិនបើ យើងបាន៖

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ជាកន្សោមអាំងតេក្រាល[កែប្រែ]

នៅពេលស្មើ 1 នោះអាំងតេក្រាលដែលមានដែនកំនត់កំនត់ ជាimproper integral ប៉ុន្តែវានៅតែអាចកំនត់បាន។


ស៊េរីអានន្ត[កែប្រែ]






Leonhard Euler បានរកឃើញស៊េរីដែលមានភាពប្រសើរជាច្រើនបន្ថែមទៀតសំរាប់អាកតង់សង់ដូចខាងក្រោម៖

(សំគាល់៖ តួក្នុងផលបូកចំពោះ n= 0 គឺផលគុណទទេ ដែលស្មើ 1)

វាអាចសំដែងដោយ៖

ប្រភាគបន្តបន្ទាប់ចំពោះអាកតង់សង់[កែប្រែ]

ចំពោះភាពឆ្លាស់នៃស៊េរីស្វ័យគុណសំពោះអាកតង់សង់​គឺវាមានលក្ខណៈជាប្រភាគបន្តបន្ទាប់។


វាពិតនីក្នុងបំណែកប្លង់កុំផ្លិច។ មានពីរបំណែកពី −i ដល់ចំនុចដែលមានតំលៃអានន្ត។ និងមួយបំណែកទៀតពី i ដល់ចំនុចត្រង់អានន្ត។ វាដំណើរការឥតខ្ចោះនៅចន្លោះពី −១ ដល់ ១ ។

អាំងតេក្រាលមិនកំនត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់[កែប្រែ]

ចំពោះតំលៃពិត និងតំលៃកុំផ្លិចនៃ x

ចំពោះតំលៃពិតនៃ x≥1


ទាំងអស់នេះអាចទាញបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក និងដេរីវេធម្មតា បង្ហាញដូចខាងលើe.

សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍[កែប្រែ]

ដោយប្រើ តាង

គេបាន

ដោយជំនួស ។ នោះ និង

ជំនួសត្រឡប់វិញ x គេបាន

វិធីសាស្រ្តចំបងក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលត្រីកោណមាត្រច្រាស់[កែប្រែ]

  • ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកស៊ីនុស សូមប្រើ៖
  • ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកកូស៊ីនុស សូមប្រើ៖
  • ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកតង់សង់ចំពោះ x ក្បែរសូន្យ សូមប្រើវិធីសាស្រ្តគណនាអាកតង់សង់នៃប្រភាគបន្តបន្ទាប់ខាងលើ។ ដើម្បីគណនាអាកតងសង់ចំពោះតំលៃ x ផ្សេងៗទៀត សូមប្រើ៖
  • ដើម្បីគណនាអាកកូតង់សង់ សូមប្រើ៖
  • ដើម្បីគណនាអាកសេកង់ សូមប្រើ៖
  • ដើម្បីគណនាអាកកូសេកង់ សូមប្រើ៖

ទំរង់លោការីត[កែប្រែ]

អនុគមន៍ទាំងនេះអាចសំដែងជាទំរង់លោការីតដោយប្រើ លោការីតកុំផ្លិច។ នេះជាការពន្លាតដែនកំនត់របស់អនុគមន៍ទាំងនេះទៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

សំរាយបញ្ជាក់នៃទំនាក់ទំនងទាំងនេះ​ គឺធ្វើតាមរយៈពន្លាតវាក្នុង​ទំរង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍[កែប្រែ]

   (និយមន័យអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃស៊ីនុស)

តាង

គេបាន

   (ដំណោះស្រាយចំពោះ)
   (យកផ្នែកខាងវិជ្ជមាន)
  Q.E.D.
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច'
Complex arcsin.jpg
Complex arccos.jpg
Complex arctan.jpg
Complex ArcCot.jpg
Complex ArcSec.jpg
Complex ArcCsc.jpg

រូបមន្តអាកតង់សង់បន្ថែម[កែប្រែ]

សំរាយបញ្ជាក់[កែប្រែ]

ចាប់ផ្តើមពី

និងតាង

បំរើបំរាស់ក្នុងការអនុវត្តន៍[កែប្រែ]

ត្រីកោណកែង

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ​មានសារៈសំខាន់នៅពេលគេចង់រករ​ង្វាស់មុំដែលនៅសល់ពីរផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណកែង ដែលគេស្គាល់រួចជាស្រេចនូវ​រង្វាស់ប្រវែងនៃត្រីកោណកែងនេះ។ ដោយប្រើអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

សំគាល់៖ opposite = ជ្រុងឈម, hypotenuse = អ៊ីប៉ូតេនុស និង adjacent = ជ្រុងជាប់

ជាញឹកញាប់ អ៊ីប៉ូតេនុសជារង្វាស់ជ្រុងដែលគេមិនប្រាប់ និងចាំបាច់ត្រូវរកមុនពេលប្រើប្រាស់អាក់ស៊ីនុស ឬ អាកកូស៊ីនុស។ អ្នកអាចគណនាមុំនៃត្រីកោណដោយមិនចាំបាច់ដឹងប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុសក៏បាន។