ក្នុងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា (Binomial Theorem) ឬ រូបមន្តទ្វេធាញូតុន ឬ ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាញូតុនគឺជារូបមន្តដ៏មានសារៈសំខាន់មួយក្នុងការពន្លាតកន្សោមស្វ័យគុណនៃផលបូក។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ ឬ ចំនួនកុំផ្លិច a b និង n ជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមានគេបាន
![{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b08af89e3f5d840c69ebdd014672815aeb38ce)
ដែល
ជាមេគុណទ្វេធា និង
តំណាងអោយហ្វាក់តូរ្យែលនៃ n ។
ឧទាហរណ៍ចំពោះ 2 ≤ n ≤ 5 ៖
![{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a118ec24c36c8c70800e61f344aafdcbdb5d63)
![{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ad4763b3734239fded9c0ea6380c7e9fc3c24a)
![{\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d800abf463fc92b9f4863bbac4685e8d6f67b8eb)
![{\displaystyle (a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182d4b81164a4093a56bd85350802dd1efd09639)
ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាអាចត្រូវបានគេពោលដោយនិយាយថាស៊្វីតពហុធា
![{\displaystyle \left\{\,x^{k}:k=0,1,2,\dots \,\right\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73feb05da8773340ab4d23edba1ef71480a4277e)
គឺជាប្រភេទទ្វេធា។
វិធីសាស្ត្រមួយបកស្រាយទ្រឹស្តីបទទ្វេធាគឺប្រើវិចារកំនើនគណិតវិទ្យា (mathematical induction) ។
![{\displaystyle n=0~,\qquad (a+b)^{0}=1={0 \choose 0}a^{0}b^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cbedf3c788cd1ff102c5bd51d33d49757c55d69)
![{\displaystyle n=1~,\qquad (a+b)^{1}=a+b={1 \choose 0}a^{1}b^{0}+{1 \choose 1}a^{0}b^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704f34f774df29c32a5dc704a4ea74bfb2919e51)
គេមាន n ជាចំនួនគត់ធំជាងឬស្មើមួយ យើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាប្រសិនបើទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n នោះយើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាវាពិតផងដែរចំពោះ n+1
តាមសម្មតិកម្មនៃវិចារកំនើតយើងបាន
![{\displaystyle (a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd40517cb3bd2e7253b023be02ba13b7abd9dc7)
ដោយការពន្លាតកន្សោមគេបាន
![{\displaystyle (a+b)^{n+1}=a^{n+1}+a\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+b\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+b^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47939f5c2f8fc9f5465e6198b67c4afb9f7de936)
ដោយការដាក់ជាកក្តា យើងបាន
![{\displaystyle (a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left\lbrack {{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}\right\rbrack a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b02d7679e74d9fe00567615e00804d9c8042a75)
ដោយប្រើប្រាស់រូបមន្តត្រីកោណប៉ាស្កាល់យើងបាន៖
![{\displaystyle (a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{{n+1} \choose k}~a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6285c15b54b2619f10c5e0f1a47dd707a8c43d)
ហេតុនេះទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n+1 ដែរ។
ដូចនេះ
![{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b08af89e3f5d840c69ebdd014672815aeb38ce)
ចំនួនទ្វេធា (binomial number) គឺជាចំនួនដែលមានរាង
(ចំពោះ n ធំជាងឬស្មើ 2) ។ នៅពេលសញ្ញាដក ឬ n គឺជាចំនួនសេស ចំនួនទ្វេធានេះអាចដាក់ជាផលគុណកក្តា៖
![{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=(a\pm b)(a^{n-1}\mp a^{n-2}b+\cdots \mp ab^{n-2}+^{n-1})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7731151dfa432acb8b76c6667087a0ed21104882)
ឧទាហរណ៍៖
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44580a505f13ea520ebd20c4f25015b3863098fa)
![{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc002e210eead1d0b2e7ede1728e3849a5277efe)
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8787aea97a9ccde2e1a7647b529afc9537f4107)
![{\displaystyle a^{8}-b^{8}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})(a^{4}+b^{4})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba81182cc1372e4fb08ef09b9fd0d2e348a27ec5)
ដាក់
ជាកក្តា
![{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187d355680e6ade4e75684830e364994c64799e7)
ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាត្រូវបានធ្វើអោយទៅជាទូទៅដោយលោក អ៊ីសាក់ ញូតុន (Isaac Newton) ដែលបានប្រើស៊េរីអនន្ត (infinite series) ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតឬចំនួនកុំផ្លិច
និង
គេបាន
![{\displaystyle (a+b)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}a^{r-k}b^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab806fe642855691cabd6d3e279b6a5f006bf52)
គេមានអនុគមន៍
ចំពោះចំនួនថេរ
។ វាមានភាពស្រួលក្នុងការមើលថា
។ នោះយើងបាន
។ ហេតុនេះស៊េរីតេល័រចំពោះ
ផ្ចិត
គឺ