ក្នុងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា (Binomial Theorem) ឬ រូបមន្តទ្វេធាញូតុន ឬ ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាញូតុន គឺជារូបមន្តដ៏មានសារៈសំខាន់មួយក្នុងការពន្លាតកន្សោមស្វ័យគុណ នៃផលបូក ។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ ឬ ចំនួនកុំផ្លិច a b និង n ជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមានគេបាន
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}
ដែល
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}
មេគុណទ្វេធា និង
n
!
{\displaystyle \ n!}
ហ្វាក់តូរ្យែល នៃ n ។
ឧទាហរណ៍ចំពោះ 2 ≤ n ≤ 5 ៖
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,}
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,}
(
a
+
b
)
4
=
a
4
+
4
a
3
b
+
6
a
2
b
2
+
4
a
b
3
+
b
4
{\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,}
(
a
+
b
)
5
=
a
5
+
5
a
4
b
+
10
a
3
b
2
+
10
a
2
b
3
+
5
a
b
4
+
b
5
{\displaystyle (a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\,}
ប្រភេទទ្វេធា [ កែប្រែ ] ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាអាចត្រូវបានគេពោលដោយនិយាយថាស៊្វីតពហុធា
{
x
k
:
k
=
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \left\{\,x^{k}:k=0,1,2,\dots \,\right\}\,}
គឺជាប្រភេទទ្វេធា ។
សំរាយបញ្ជាក់ [ កែប្រែ ] វិធីសាស្ត្រមួយបកស្រាយទ្រឹស្តីបទទ្វេធាគឺប្រើវិចារកំនើនគណិតវិទ្យា (mathematical induction) ។
n
=
0
,
(
a
+
b
)
0
=
1
=
(
0
0
)
a
0
b
0
{\displaystyle n=0~,\qquad (a+b)^{0}=1={0 \choose 0}a^{0}b^{0}}
n
=
1
,
(
a
+
b
)
1
=
a
+
b
=
(
1
0
)
a
1
b
0
+
(
1
1
)
a
0
b
1
{\displaystyle n=1~,\qquad (a+b)^{1}=a+b={1 \choose 0}a^{1}b^{0}+{1 \choose 1}a^{0}b^{1}}
គេមាន n ជាចំនួនគត់ ធំជាងឬស្មើមួយ យើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាប្រសិនបើទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n នោះយើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាវាពិតផងដែរចំពោះ n+1
តាមសម្មតិកម្មនៃវិចារកំនើតយើងបាន
(
a
+
b
)
n
+
1
=
(
a
+
b
)
⋅
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
{\displaystyle (a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}
ដោយការពន្លាតកន្សោមគេបាន
(
a
+
b
)
n
+
1
=
a
n
+
1
+
a
⋅
∑
k
=
1
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
+
b
⋅
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
+
b
n
+
1
{\displaystyle (a+b)^{n+1}=a^{n+1}+a\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+b\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+b^{n+1}}
ដោយការដាក់ជាកក្តា យើងបាន
(
a
+
b
)
n
+
1
=
a
n
+
1
+
∑
k
=
1
n
[
(
n
k
)
+
(
n
k
−
1
)
]
a
n
−
k
+
1
b
k
+
b
n
+
1
{\displaystyle (a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left\lbrack {{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}\right\rbrack a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}}
ដោយប្រើប្រាស់រូបមន្តត្រីកោណប៉ាស្កាល់ យើងបាន៖
(
a
+
b
)
n
+
1
=
a
n
+
1
+
∑
k
=
1
n
(
n
+
1
k
)
a
n
−
k
+
1
b
k
+
b
n
+
1
{\displaystyle (a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{{n+1} \choose k}~a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}}
ហេតុនេះទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n+1 ដែរ។
ដូចនេះ
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}
ចំនួនទ្វេធា [ កែប្រែ ] ចំនួនទ្វេធា (binomial number) គឺជាចំនួនដែលមានរាង
x
n
±
b
n
{\displaystyle \scriptstyle x^{n}\,\pm \,b^{n}}
សញ្ញាដក ឬ n គឺជាចំនួនសេស ចំនួនទ្វេធានេះអាចដាក់ជាផលគុណកក្តា ៖
a
n
±
b
n
=
(
a
±
b
)
(
a
n
−
1
∓
a
n
−
2
b
+
⋯
∓
a
b
n
−
2
+
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=(a\pm b)(a^{n-1}\mp a^{n-2}b+\cdots \mp ab^{n-2}+^{n-1})\,}
ឧទាហរណ៍៖
a
2
−
b
2
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,}
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,}
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,}
a
8
−
b
8
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
2
+
b
2
)
(
a
4
+
b
4
)
{\displaystyle a^{8}-b^{8}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})(a^{4}+b^{4})\,}
ដាក់
a
n
−
b
n
{\displaystyle \scriptstyle a^{n}\,-\,b^{n}}
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
∑
k
=
0
n
−
1
a
k
b
n
−
1
−
k
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}\right)}
ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាត្រូវបានធ្វើអោយទៅជាទូទៅដោយលោក អ៊ីសាក់ ញូតុន (Isaac Newton) ដែលបានប្រើស៊េរីអនន្ត (infinite series) ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច ។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតឬចំនួនកុំផ្លិច
a
;
b
{\displaystyle \ a;\quad b}
r
{\displaystyle \ r}
(
a
+
b
)
r
=
∑
k
=
0
∞
(
r
k
)
a
r
−
k
b
k
{\displaystyle (a+b)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}a^{r-k}b^{k}}
សំរាយបញ្ជាក់ [ កែប្រែ ] គេមានអនុគមន៍
f
(
b
)
=
(
a
+
b
)
r
{\displaystyle \ f(b)=(a+b)^{r}}
ចំនួនថេរ
a
,
r
{\displaystyle \ a,r}
d
k
d
b
k
f
=
r
(
r
−
1
)
⋯
(
r
−
k
+
1
)
(
a
+
b
)
r
−
k
{\displaystyle {\frac {d^{k}}{db^{k}}}f=r(r-1)\cdots (r-k+1)(a+b)^{r-k}}
d
k
d
b
k
f
(
0
)
=
r
(
r
−
1
)
⋯
(
r
−
k
+
1
)
a
r
−
k
{\displaystyle {\frac {d^{k}}{db^{k}}}f(0)=r(r-1)\cdots (r-k+1)a^{r-k}}
ស៊េរីតេល័រ ចំពោះ
f
(
b
)
{\displaystyle \ f(b)}
ផ្ចិត
0
{\displaystyle \ 0}
(
a
+
b
)
k
=
∑
k
=
0
∞
r
(
r
−
1
)
⋯
(
r
−
k
+
1
)
a
r
−
k
b
k
k
!
=
∑
k
=
0
∞
(
r
k
)
a
r
−
k
b
k
{\displaystyle (a+b)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)a^{r-k}b^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}a^{r-k}b^{k}}
