ទ្រឹស្តីបទវ្យែត

ទ្រឹស្តីបទវ្យែត (Viète's Theorem) ឬ រូបមន្តវ្យែត (Viète's formulas) ឬ ទំនាក់ទំនងវ្យែត ឬ ទំនាក់ទំនងរវាងមេគុណនិងរឹស ឬ រូបមន្តវ្យែតសំរាប់រករឺស ត្រូវបាន​ដាក់​ឈ្មោះ​តាម​គណិតវិទូ​បារាំង លោក ហ្វ្រង់ស្វ័រ វ្យែត (François Viète) គឺជា​ទ្រឹស្តីបទ​ទំនាក់​ទំនង​រវាងមេគុណ​នៃ​ពហុធា​ទៅនឹង​ផលបូក និង ផលគុណ​នៃ​រឹស​របស់​ពហុធា​នោះ។

រូបមន្ត

ចំពោះពហុធាដែលមានដឺក្រេ $\ n\geq 1$

$p(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$

(មេគុណអាចជាចំនួនពិត ឬ ចំនួនកុំផ្លិច និង $a_{n}\neq 0$ )

គឺជាទ្រឹស្តីបទគ្រឹះនៃពិជគណិត ដែលមាន n រឹសជាចំនួនកុំផ្លិច $\ x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ ។

ទ្រឹស្តីបទវ្យែតភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងមេគុណ $\ \{a_{n}\}$ ទៅនឹងផលបូកសញ្ញានៃរឹស $\ \lbrace x_{i}\rbrace$ សំដែងដូចខាងក្រោម

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}$

ពំនោល​នេះ​សមមូល​នឹង​មេគុណ​$\ a_{n-k}$ ទី $\ (n-k)$ ដែលផ្តល់ទំនាក់ទំនងផលបូកនៃគ្រប់ផលបូករងនៃរឹសត្រូវបានជ្រើសរើស k ដង៖

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$

ចំពោះ $k=1,2,\dots ,n$ និមួយៗ​ (ដែល​យើង​អាច​សរសេរ​បង្ហាញ $\ {i_{k}}$ តាម​លំដាប់​កើន​ដើម្បី​អោយ​ផលបូករង​នៃ​រឹស​កាន់​តែ​ជាក់លាក់) ។

ឧទាហរណ៍

ចំពោះពហុធាដឺក្រេទី២

គេមានពហុធាដឺក្រេទី២ $\ f(x)=ax^{2}+bx+c$ ។ តាង $\ x_{1};x_{2}$ និង $\ x_{3}$ ជារឹសនៃសមីការ $\ f(x)=0$ តាម​ទ្រឹស្តីបទផលគុណកត្តា (factor theorem) គេបាន

$\ f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}$

ដោយប្រៀបធៀបមេគុណនៃពហុធាគេបាន

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\cfrac {b}{a}}\\[7pt]x_{1}x_{2}=\;\ {\cfrac {c}{a}}\end{cases}}$

ចំពោះពហុធាដឺក្រេទី៣

ដូចគ្នាចំពោះពហុធាដឺក្រេទី៣នៃ x

$\ g(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

ដែលមានរឹស $\ x_{1};\quad x_{2}$ និង $\ x_{3}$ គេបាន

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{1}=-{\cfrac {b}{a}}\\[7pt]x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=\;\ {\cfrac {c}{a}}\\[7pt]x_{1}x_{2}x_{3}=-{\cfrac {d}{a}}\end{cases}}$