រូបមន្តតង់សង់កន្លះមុំ

រូបមន្ត

តាង

$t=\tan \left({\frac {\varphi }{2}}\right)={\frac {\sin(\varphi )}{1+\cos(\varphi )}}={\frac {1-\cos(\varphi )}{\sin(\varphi )}}$

នោះគេបាន

$\cos(\varphi )={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$		$\sin(\varphi )={\frac {2t}{1+t^{2}}},$
$\sec(\varphi )={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$		$\tan(\varphi )={\frac {2t}{1-t^{2}}},$
$\csc(\varphi )={\frac {1+t^{2}}{2t}},$		$\cot(\varphi )={\frac {1-t^{2}}{2t}},$

និង

$e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},$

$e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}$

ដោយត្រឡប់រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលចំពោះ t និងរក φ ជាអនុគមន៍នៃ t, គេបានទំនាក់ទំនងអាកតង់សង់ជាអនុគមន៍នៃលោការីតនេពែរដូចខាងក្រោម

$\tan ^{-1}t={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}$

បំរើបំរាស់ក្នុងការគណនា

តាង

$t=\tan \left({\frac {\varphi }{2}}\right)$

យើងបាន

• $dt=\sec ^{2}\left({\varphi \over 2}\right)\,{d\varphi \over 2}$
• $\varphi =2\arctan(t)$

យើងបាន

$d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}$

សញ្ញាណអ៊ីពែបូលីក

ចំនុចមួយនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូលកំនត់ដោយ (cosh θ, sinh θ)។ ដោយធ្វើចំណោលចំនុចទៅលើអ័ក្ស y ពីចំនុចកណ្តាល (−1, 0) កំនត់ដូចតទៅ៖

$t=\tanh \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sinh(\theta )}{\cosh(\theta )+1}}={\frac {\cosh(\theta )-1}{\sinh(\theta )}}$

ជាមួយនឹងសញ្ញាណ

$\cosh(\theta )={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}$		$\sinh(\theta )={\frac {2t}{1-t^{2}}}$
${\mbox{sech}}(\theta )={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$		$\tanh(\theta )={\frac {2t}{1+t^{2}}}$
${\mbox{csch}}(\theta )={\frac {1-t^{2}}{2t}}$		$\coth(\theta )={\frac {1+t^{2}}{2t}}$

និង

$e^{\theta }={\frac {1+t}{1-t}}$

$e^{-\theta }={\frac {1-t}{1+t}}$

រក θ ជាអនុគមន៍នៃ t នាំអោយ គេបានទំនាក់ទំនងរវាងអាកតង់សង់អ៊ីពែបូលនិងលោការីតនេពែរ៖

$\tanh ^{-1}t={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+t}{1-t}}$

អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់

ដោយប្រៀបធៀបសញ្ញាណអ៊ីពែបូលីកទៅនឹងសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ គេសំគាល់ឃើញថាពួកវាជាប់ទាក់ទងនឹងអនុគមន៍នៃ t ដូចគ្នា។

$t=\tan {\frac {\varphi }{2}}=\tanh {\frac {\theta }{2}}$

គេបាន

$\varphi =2\tan ^{-1}\tanh {\frac {\theta }{2}}\equiv {\mbox{gd}}(\theta )$

អនុគមន៍ $gd(\theta )\,$ ហៅថាអនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់។ អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ផ្តល់ទំនាក់ទំនងផ្ទាល់រវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនិងអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក តែមិនជាប់ទាក់ទងនឹងចំនួនកុំផ្លិចទេ។

តង់សង់មធ្យម

$\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}$

ដោយកំនត់ α ឬ β អោយស្មើសូន្យ។