រូបមន្តអយល័រ

រូបមន្តអយល័រ $\mathrm e^{\mathrm i\varphi}=\cos\varphi+\mathrm i\sin\varphi$

រូបមន្ត​អយល័រ​ (Euler's formula) យកឈ្មោះតាមលោក លេអុនហាដ អយល័រ (Leonhard Euler) គឺជា​រូបមន្ត​គណិតវិទ្យា​ក្នុង​ការ​គណនា​​កុំផ្លិចដែលបង្ហាញ​ទំនាក់ទំនង​យ៉ាង​ជិតស្និត​រវាង​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល​កុំផ្លិច។

រូបមន្តអយល័រពោលថា​ចំពោះគ្រប់​ចំនួនពិត​ $\ x$ គេបាន

$\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

ដែល

• $\ e$ គឺជា​គោលនៃលោការីតនេពែ (លោការីតធម្មជាតិ)
• $\ i$ គឺជា​ឯកតានិម្មិត (ឬហៅថា​ចំនួននិម្មិត)
• $\ \sin$ និង $\ \cos$ គឺជា​​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

រូបមន្ត​អយល័រ​នៅតែពិតបើទោះបីជា $\ x$ ជា​ចំនួនកុំផ្លិច​ក៏ដោយ​។

ប្រវត្តិ

រូបមន្តអយល័រ​ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់​ដំបូង​ដោយ រ៉ូចឺ កូត្ស Roger Cotes ក្នុងឆ្នាំ ១៧១៤ ជារាង

$\ln(\cos x + i\sin x)=ix \$

(ដែល ln តំណាងអោយ​លោការីតនេពែ (ឬហៅម្យ៉ាងទៀតថា​លោការីតធម្មជាតិ) មានន័យថាជា​​លោការីត log ដែលមានគោល e)

លោក​អយល័រ​​ជាអ្នកបោះពុម្ព​រូបមន្ត​ជា​រាង​បច្ចប្បន្ន​នេះ​នៅ​ឆ្នាំ​១៧៤៨ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះ​សំរាប់សំរាយបញ្ជាក់​របស់​គាត់​ចំពោះ​ស៊េរីអនន្ត​ពីរ​ស្មើគ្នា។ អ្នកទាំងពីរ​មិន​បាន​បង្ហាញ​តំណាងធរណីមាត្រ​នៃ​រូបមន្តទេៈ តំណាង​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​ជា​ចំនុច​នៅ​ក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិច​បានលេចឡើង​នៅ​៥០ឆ្នាំ​ក្រោយ​មក។​ លោក អយល័រ​បាន​ចាត់ទុក​វា​ជាធម្មតា​ដើម្បី​ណែនាំ​ទៅ​កាន់​សិស្ស​របស់​គាត់​អំពី​ចំនួនកុំផ្លិច​​មាន​ភាពស្រួល​ច្រើនជាង​អ្វី​ដែល​ពួកយើង​ធ្វើ​សព្វថ្ងៃ។ នៅក្នុង​សៀវភៅពិជគណិតថ្នាក់ដំបូងរបស់គាត់ (elementary algebra text book) គាត់​បាន​ណែនាំ​អំពី​ចំនួន​ទាំងនេះ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ម្តង និង​បាន​ប្រើប្រាស់​​ពួកវា​តាម​រយៈ​វិធីសាស្រ្ត​ធម្មតា។

ការអនុវត្តក្នុងទ្រឹស្តីចំនួនកុំផ្លិច

$\ e^{ix}$ គូសជា​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

រូបមន្ត​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​បកស្រាយ​ដោយ​និយាយថា អនុគមន៍ $\ e^{ix}$ គូសជា​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិចជា $\ x$ រ៉ាដ្យង់​តាមរយះចំនួនពិត ។ ទីនេះ $\ x$ គឺជា​មុំ​ដែល​បន្ទាត់​មួយ​ភ្ជាប់​គល់​តំរុយ​ជា​មួយ​ចំនុច​មួយ​នៅ​លើ​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ​បង្កើត​ជាមួយ​អ័ក្សពិត​ផ្នែក​វិជ្ជមាន​តាម​ទិសដៅ​ដូច​ទ្រនិចនាឡិកា​និង​គិតជា​រ៉ាដ្យង់​។

សំរាយបញ្ជាក់​ដើម​គឺ​ពឹងផ្អែក​ទៅ​លើ​ការពន្លាត​ជា​​ស៊េរីតេល័រ​នៃ​អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល $\ e^z$ (ដែល $\ z$ ជា​ចំនួនកុំផ្លិច​) និង​ការពន្លាតជា​ស៊េរីតេល័រ​​នៃ​អនុគមន៍ស៊ីនុស $\ \sin x$ និង កូស៊ីនុស $\ \cos$ ចំពោះ​ចំនួនពិត $\ x$ ។ តាម​ពិត​សំរាយបញ្ជាក់​ដូចគ្នា​បង្ហាញ​ថា​​រូបមន្តអយល័រ​ពិតផងដែរ​ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួនកុំផ្លិច $\ z$ ។

ចំនុច​មួយ​នៅ​ក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិចអាច​​ត្រូវ​បាន​​បង្ហាញ​​ជា​​ចំនួនកុំផ្លិច​ដៅ​ក្នុង​ប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត​។ រូបមន្តអយល័រផ្តល់នូវតំលៃមធ្យមនៃគំលាតរវាងកូអរដោនេដេកាត និង កូអរដោនេប៉ូលែរ។ ទំរង់ប៉ូលែរបន្ថយចំនួណតួពីពីរទៅមួយ ដែលសំរួលក្នុងគណិតវិទ្យា​នៅពេលដែល​វា​ត្រូវបាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ក្នុង​ប្រមាណវិធីគុណ​ឬ​ស្វ័យគុណ​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​។ ចំនួនកុំផ្លិច $\ z = x + iy$ អាចសរសេរជា

$z = x + iy = |z| (\cos \theta+ i\sin \theta) = |z| e^{i \theta}= r e^{i \theta} \,$

$\bar{z} = x - iy = |z| (\cos \theta- i\sin \theta) = |z| e^{-i \theta}= r e^{-i \theta} \,$

ដែល

$x = \mathrm{Re}\{z\} \,$ គឺជា​ផ្នែកពិត

$y = \mathrm{Im}\{z\} \,$ គឺជា​ផ្នែកនិម្មិត

$|z| = r = \sqrt{x^2+y^2}$ គឺជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច

$\ \bar{z}$ ជា​ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់​នៃ​ $\ z$

$\theta= \arctan (\frac{y}{x})$ គឺជា​អាគុយម៉ង់​នៃចំនួនកុំផ្លិច

$\ \theta$ គឺជាអាគុយម៉ងនៃចំនួនកុំផ្លិច មានន័យថាគឺជាមុំរវាងអ័ក្សពិត $\ x$ និង វ៉ិចទ័រ $\ z$ វាស់ក្នុងទិសដៅស្របនឹង​ទ្រនិច​នាឡិកា​និង​​គិត​ជា​រ៉ាដ្យង់​។

យើង​អាច​ប្រើ​រូបមន្តអយល័រ​ដើម្បី​កំនត់​លោការីត​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​មួយ​។ យើង​ក៏​អាច​ប្រើ​និយមន័យ​នៃ​លោការីត​​ (ជាឆ្លាស់នៃ​អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល)​ ដែល

$a = e^{\ln (a)}\,$

និង

$e^a e^b = e^{a + b}\,$

ទំនាក់ទំនងទាំងពីរពិតចំពោះគ្រប់​ចំនួនកុំផ្លិច a និង b ។ ហេតុនេះយើងអាចសរសេរ

$z = |z| e^{i \theta} = e^{\ln |z|} e^{i \theta} = e^{\ln |z| + i \theta}\,$

ចំពោះ $z\ne 0$ ។ បំលាក់​លោការីត​លើអង្គទាំងសងខាង យើងបាន

$\ln z= \ln |z| + i \theta \,$

តាមពិតទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានគេប្រើដើម្បីកំនត់និយមន័យសំរាប់​កុំផ្លិចលោការីត​។ លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លចមួយគឺជា​អនុគមន៍មានពហុតំលៃ ពីព្រោះ $\theta \,$ មានពហុតំលៃ (មានតំលៃច្រើន) ។

ចុងក្រោយ រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

$(e^a)^k = e^{a k} \,$

ផ្ទៀងផ្ទាត់​ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួនគត់​ $\ k$ រួមជាមួយ​រូបមន្តអយល័រ​ ដែលជាប់ទាក់ទងផងដែរនូវរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និង រូបមន្តដឺម័រ​។

ទំនាក់ទំនងចំពោះត្រីកោណមាត្រ

$\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

សមីការ​ទាំងពីរ​ខាងលើ​អាច​ទាញបាន​ដោយ​ការបូក​ឬ​ដករូបមន្ត​អយល័រ៖

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \;$

$e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;$

រូបមន្ត​ទាំងនេះ​ផ្តល់​និយមន័យ​អោយ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ​ចំពោះអាគុយម៉ង់ $\ x$ នៃចំនួនកុំផ្លិច ។

ឧទាហរណ៍៖ តាង $\ x = iy$ គេបាន

$\cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y)$

$\sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -i\sinh(y)$

អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចអាចសំរួលជាត្រីកោណមាត្រ ពីព្រោះវាងាយស្រួលសំរួលជាងស៊ីនុយសូអ៊ីត។​ គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍៖

$\begin{align} \cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\ & = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4} \\ & = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}+\frac{e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}}{4} \\ & = \frac{\cos(x+y)}{2} + \frac{\cos(x-y)}{2} \end{align}$

គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីត​ជា​​ផ្នែកពិត​​នៃកន្សោម​ចំនួនកុំផ្លិច​ និង សរសេរជាកន្សោមនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ឧទាហរណ៍៖

$\begin{align} \cos(nx)+\cos((n-2)x) & = \mathrm{Re} \{\quad e^{inx}+e^{i(n-2)x}\quad \} \\ & = \mathrm{Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix})\quad \} \\ & = \mathrm{Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x\quad \} \\ & = 2\cos((n-1)x)\cos x \end{align}$

រូបមន្ត​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​បង្កើត​របត់​ស៊ីនុយសូអ៊ីត​នៅចន្លោះ x រ៉ាដ្យង់​។

សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយប្រើ​ស៊េរីតេល័រ

ការពន្លាត​ជា​ស៊េរី​នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល​ដែលមានអថេរជាចំនួនពិត x អាចសរសេរ

$e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

និងអាចបន្លាយដល់​ចំនួនកុំផ្លិច x ។

ពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺ

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n}$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

ដើម្បីសំរួលសមីការនេះ យើងប្រើលក្ខណៈគ្រឹះខាងក្រោម

$i^0 = 1, \qquad i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1, \ldots$

ជាទូទៅចំពោះគ្រប់អិចស្ប៉ូសង់ជាចំនួនគត់ n គេបាន

$i^{\,4n} = 1, \qquad i^{\,4n+1} = i, \qquad i^{\,4n+2} = -1, \qquad i^{\,4n+3} = -i$

ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z យើងកំនត់អនុគមន៍និមួយៗទាំងនេះដោយស៊េរីខាងលើ ជំនួសអថេរពិត x ដោយអថេរកុំផ្លិច z ។ យើងបាន

$\begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos z + i\sin z \end{align}$

ដូចនេះគេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល៖

$\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​ដេរីវេ

គេមានអនុគមន៍ $\ f$ (អាចជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិច) នៃអថេរ x កំនត់ដោយ

$f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}} \$

ដោយយោងតាមរូបមន្តផលគុណ និង ផលចែកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ $\ f(x)$ គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ $\ f(x)$ កំនត់ដោយ

$\begin{align} f'(x) &= \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &= \displaystyle\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &= \displaystyle\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}} \\ &= \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}} \\ &= \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}} \\ &= 0 \end{align}$

ហេតុនេះ $\ f$ ជា​អនុគមន៍ថេរ​។ គេបាន

$f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1$

$\Rightarrow \frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=1$

ដូចនេះ

$\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល​បែប​ងាយ

តាងអនុគមន៍ ​ $f(x)=\cos x+i\sin x \,\!$

យើង​បាន

$f'(x)=-\sin x+i\cos x=i\cdot \left( i\sin x+\cos x \right)$

$f'(x)=i\cdot f(x)$

$\frac{f'(x)}{f(x)}=i$

$\int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\int{i\cdot dx}$

$\ln \left( f(x) \right)=ix+c$

$f(x)={e}^{ix+c} \,\!$

នោះ ${{e}^{ix+c}}=\cos x+i\sin x \,\!$

រក​តម្លៃ $c \,\!$ ដោយ​យក $x=0 \,\!$

នាំឲ្យ ${{e}^{c}}=\cos 0+i\sin 0=1 \,\!$

$\Rightarrow c=0$

ដូចនេះ

${{e}^{ix}}=\cos x+i\sin x \,\!$ ។

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល​​បែប​ម្យ៉ាង​ទៀត

គេមានអនុគមន៍ $\ g(x)$ ដែល

$\ g(x) = e^{ix}$

ដោយចាត់ទុក $\ i$ គឺជា​ចំនួនថេរ ដេរីវេទី១ និង ទី២ នៃ $\ g(x)$ គឺ

$g'(x) = i e^{ix} \$

$g''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \$ (ពីព្រោះ $\ i^2 = -1$)

ចេញ​ពី​ទំនាក់ទំនង​នេះ​គេ​អាច​បង្កើត​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរ​លំដាប់២

$g''(x) = -g(x) \$

ឬ

$g''(x) + g(x) = 0 \$

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់២ មានចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ​ចំនួន​ពីរ​ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់​វា៖

$g_1(x) = \cos x \$

$g_2(x) = \sin x \$

ទាំង $\ \cos$ និង $\ \sin$ គឺជាអនុគមន៍ពិត​ដែលដេរីវេ​ទី២​គឺ​មាន​សញ្ញាអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ខ្លួនវា។ បន្សំ​លីនេអ៊ែរ​នៃចំលើយ​ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែន​ក៏ជាចំលើយមួយផងដែរ។​ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ

$\begin{align} g(x) &= A g_1(x) + B g_2(x) \\ &= A \cos x + B \sin x \ \end{align}$

ដែល A និង B គឺជាចំនួនថេរ​។ ប៉ុន្តែ​មិនមែន​គ្រប់​តំលៃ​ទាំងអស់​នៃ​ចំនួនថេរ​ទាំងពីរ​នេះ​សុទ្ធ​តែ​ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដើមដែលគេស្គាល់ចំពោះ $\ g(x)$ ទេ​៖

$g(0) = e^{i0} = 1 \$

$g'(0) = i e^{i0} = i \$

តំលៃនៃលក្ខខណ្ឌដើមជំនួសក្នុងចំលើយទូទៅ

$g(0) = A \cos 0 + B \sin 0 = A \$

$g'(0) = -A \sin 0 + B \cos 0 = B \$

គេបាន

$g(0) = A = 1 \$

$g'(0) = B = i \$

និង​ចុងក្រោយ

$g(x) = e^{ix} = \cos x + i \sin x \$

គឺជា​រូបមន្តអយល័រ​។