តារាងអាំងតេក្រាល

សូមមើលនៅក្នុងតារាងខាងក្រោម​សំរាប់តារាងពេញលេញចំពោះអាំងតេក្រាលប្រភេទអនុគមន៍​នីមួយៗ៖

• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទាន
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អសនិទាន
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់អ៊ីពែបូលីក
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍លោការីត

តារាងអាំងតេក្រាល

អាំងតេក្រាល ជាប្រមាណវិធីគោលមួយក្នុងចំនោមប្រមាណវិធីគោលទាំង២​នៅក្នុងគណិតវិទ្យាវិភាគ។ ដេរីវេ អាចគណនាបានដោយងាយ​ដោយប្រើដេរីវេនៃអនុគមន៍គោល ចំនែកអាំងតេក្រាលវិញតែងមានការលំបាក ជាហេតុធ្វើអោយគេចាំបាច់ពឹងលើតារាងអាំងតេក្រាល។ អត្ថបទនេះនិងណែនាំអំពីអាំងតេក្រាលសំខាន់ៗមួយចំនួន។

យើងកំនត់យក C ធ្វើជាថេរអាំងតេក្រាល ដែលអាចគណនារកបាន កាលណាគេដឹងតំលៃអាំងតេក្រាលនៅត្រង់ចំនុចមួយ។ ហេតុនេះអាំងតេក្រាល(ព្រីមីទីវ)នៃអនុគមន៍​មួយ មានចំនួនរាប់មិនអស់។

សូមរកមើលផងដែរក្នុង តារាងដេរីវេ

អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ងាយ

អនុគមន៍អសនិទាន

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អសនិទាន

$\int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\sin ^{-1}{x \over a}+C$

$\int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\cos ^{-1}{x \over a}+C$

$\int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec ^{-1}{|x| \over a}+C$

$\int {-dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\csc ^{-1}{|x| \over a}+C$

អនុគមន៍លោការី

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍លោការីត

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C$

$\int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-x\log _{b}(e)+C$

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln(a)}}+C$

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-{\frac {\sin 2x}{2}})+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+{\frac {\sin 2x}{2}})+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C$

(see integral of secant cubed)

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$

អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

$\int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C$

អនុគមន៍ច្រាស់អ៊ីពែបូលីក

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់អ៊ីពែបូលីក

$\int \operatorname {arcsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \operatorname {arccosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C$

$\int \operatorname {arctanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctanh} \,x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C$

$\int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccsch} \,x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C$

$\int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsech} \,x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C$

$\int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccoth} \,x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C$

អាំងតេក្រាលកំនត់នៃអនុគមន៍​ពិបាកៗ

មានអនុគមន៍ខ្លះ គេមិនអាចរកព្រីមីទីវ​របស់វាតាមរយៈការធ្វើអាំងតេក្រាលធម្មតាបានទេ ប៉ុន្តែគេអាចគណនារកតំលៃអាំងតេក្រាលកំនត់របស់វា​នៅក្នុងចន្លោះមួយ។ ឧទាហរណ៍មួយចំនួនត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម៖

$\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (មើលផងដែរ អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា)

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (អាំងតេក្រាលហ្គោស)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (មើលផងដែរ ចំនួនប៊ែរនូយី)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}}{\frac {\pi }{2}}$ (បើ n ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបគូ​ហើយ $\scriptstyle {n\geq 2}$)

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}}$ (បើ$\scriptstyle {n}$ ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបសេស​ហើយ $\scriptstyle {n\geq 3}$)

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$ (ដែល $\Gamma (z)$ ជា អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$ (ដែល $\exp[u]$ ជា អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល $e^{u}$, ហើយ $a>0$)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (ដែល $I_{0}(x)$ ជា អនុគមន៍បេសសលប្រភេទទី១)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$

$\int _{-\infty }^{\infty }{(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}dx}={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma (\nu /2)}{\Gamma ((\nu +1)/2))}}\,$, $\nu >0\,$, ទាក់ទិននិង អនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ នៃ របាយស្ទូដិន)

method of exhaustion ផ្ដល់នូវរូបមន្តទូទៅក្នុងករណីដែលគ្មានអនុគមន៍ព្រីមីទីវ៖

$\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).$

"sophomore's dream"

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29\dots )\\\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }-(-1)^{n}n^{-n}&&(=0.783430510712\dots )\end{aligned}}$

តំនភ្ជាប់ក្រៅ

• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas
• Paul's Online Math Notes