បន្ទាត់អយល័រ

ក្នុងធរណីមាត្រ បន្ទាត់អយល័រនៃត្រីកោណមួយគឺជាបន្ទាត់ដែលកាត់តាមអរតូសង់ ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ ទីប្រជុំទំងន់ឬអ៊ីសូបារីសង់ និង ផ្ចិតនៃរង្វង់អយល័រនៃត្រីកោណ។ បន្ទាត់អយល័រត្រូវបានគេហៅដោយផ្តល់ជាកិត្តិយលដល់គណិតវិទូស្វីស លេអូណា អយល័រ។

ផ្ចិតនៃរង្វង់អយល័រគឺស្ថិតនៅចំចំនុចកណ្តាលនៃអង្កត់ដែលបង្កើតដោយអរតូសង់និងផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ។ ម្យ៉ាងវិញទៀតចំងាយរវាងទីប្រជុំទំងន់និងអរតូសង់គឺស្មើនឹងពីរដងនៃចំងាយរវាងទីប្រជុំទំងន់និងផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ។

ភាពកូលីនេអ៊ែរគ្នា

ប្រសិន H ជាអរតូសង់ G ជាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ABC និង $\ \Omega$ ជាផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC គេបាន៖

{\overrightarrow {\Omega H}}=3{\overrightarrow {\Omega G}}

(មានន័យថាចំនុចទាំងបីនេះកូលីនេអ៊ែរនឹងគ្នា (នៅលើបន្ទាត់តែមួយ) )

សំរាយបញ្ជាក់

គេមានចំនុច $\ M$ កំនត់ដោយ ${\overrightarrow {\Omega M}}={\overrightarrow {\Omega A}}+{\overrightarrow {\Omega B}}+{\overrightarrow {\Omega C}}$

តាមទំនាក់ទំនងសាលគេបាន ${\overrightarrow {\Omega M}}={\overrightarrow {\Omega A}}+{\overrightarrow {\Omega I_{1}}}+{\overrightarrow {I_{1}B}}+{\overrightarrow {\Omega I_{1}}}+{\overrightarrow {I_{1}C}}$

ដោយ $\ I_{1}$ គឺជាចំនុចកណ្តាលនៃ $\ [BC]$ គេបាន ${\overrightarrow {I_{1}B}}+{\overrightarrow {I_{1}C}}={\vec {0}}$

ហេតុនេះ ${\overrightarrow {\Omega M}}-{\overrightarrow {\Omega A}}=2{\overrightarrow {\Omega I_{1}}}$ នាំអោយ ${\overrightarrow {AM}}=2{\overrightarrow {\Omega I_{1}}}$

តាមនិយមន័យនៃ $\Omega$ បន្ទាត់ $\ (\Omega I_{1})$ គឺជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ $\ [BC]$ ហេតុនេះ $\ \Omega I_{1}\perp [BC]$ ។ ទំនាក់ទំនងវ៉ិចទ័រដែលបានបង្កត់លើនេះបង្ហាញថាបន្ទាត់ $\ (AM)$ ក៏កែងនឹងអង្កត់ $\ [BC]$ ដែរ។ ហេតុនេះបន្ទាត់ $\ (AM)$ គឺជាកំពស់នៃត្រីកោណ $\ ABC$ ។

សំរាយបញ្ជាក់ដូចគ្នាដែរគេបាន $\ (BM)$ និង $\ (CM)$ គឺជាកំពស់នៃត្រីកោណ $\ ABC$ ហេតុនេះ $\ M$ គឺជាចំនុចស្ថិតនៅលើកំពស់នៃត្រីកោណ (ជាចំនុចប្រសព្វរវាងកំពស់ទាំងបីនៃត្រីកោណ) ដែលគេហៅថាអរតូសង់ តាងដោយ $\ H$ ។

គេបាន ${\overrightarrow {\Omega H}}={\overrightarrow {\Omega A}}+{\overrightarrow {\Omega B}}+{\overrightarrow {\Omega C}}$

តាមទំនាក់ទំនងសាល គេបាន ${\overrightarrow {\Omega H}}=3{\overrightarrow {\Omega G}}+{\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}$

ម្យ៉ាងវិញទៀត ${\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}={\vec {0}}$ (កណី $\ G$ គឺជាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ $\ ABC$ )

ចុថងក្រោយគេទទួលបាន ${\overrightarrow {\Omega H}}=3{\overrightarrow {\Omega G}}$ នេះបង្ហាញថា $\Omega$ ; $G$ និង $H$ ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ (កូលីនេអ៊ែរនឹងគ្នា) តាមលំដាប់រៀងគ្នា។

ពិពណ៌នា

បន្ទាត់អយល័រគឺជាបន្ទាត់ដែលកាត់តាមទីប្រជុំទំងន់ (ពណ៌ទឹកក្រូច); អរតូសង់ (ពណ៌ខៀវ); រង្វង់ចារឹកក្រៅ (ពណ៌បៃតង); និង ផ្ចិតនៃរង្វង់អយល័រឬរង្វង់ចំនុច៩ (ពណ៌ក្រហម)

ក្នុងរូបភាពខាងស្តាំបន្ទាត់អយល័រត្រូវបានបង្ហាញដោយពណ៌ក្រហម។ វាកាត់តាមទីប្រជុំទំងន់ (ពណ៌ទឹកក្រូច); អរតូសង់ (ពណ៌ខៀវ); រង្វង់ចារឹកក្រៅ (ពណ៌បៃតង); និង ផ្ចិតនៃរង្វង់អយល័រឬរង្វង់ចំនុច៩ (ពណ៌ក្រហម)។

នៅឆ្នាំ ១៧៦៧ អយល័របានបង្ហាញថាក្នុងត្រីកោណមួយ អរតូសង់ ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ទីប្រជុំទំងន់ និងផ្ចិតនៃរង្វង់អយល័រ(រង្វង់ចំនុច៩) គឺកូលីនេអ៊ែរនឹងគ្នា។ ចំពោះត្រីកោណសម័ង្ស ចំនុចទាំងបួននេះគឺត្រួតស៊ីគ្នា ប៉ុន្តែចំពោះត្រីកោណប្រភេទផ្សេងទៀតចំនុចទាំងបួននេះមិនត្រួតស៊ីគ្នា និង បន្ទាត់អយល័រគឺកំនត់ដោយចំនុចពីរក្នុងចំនោមចំនុចទាំងបួននេះ ។
ផ្ចិតនៃរង្វង់អយល័រស្ថិតនៅលើបន្ទាត់អយល័រចន្លោះអរតូសង់និងផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ និងចំងាយពីទីប្រជុំទំងន់ទៅផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅគឺស្មើនឹងកន្លះដងនៃចំងាយពីទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណទៅអរតូសង់។

ប្រសិនបើយើងតាង H ជាអរតូសង់; G ជាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ABC និង

\ \Omega

ជាផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបាន

\color {magenta}2\Omega G=GH

ឬគេអាចសរសេរ

\color {magenta}{\frac {GH}{\Omega G}}=2

តាមសំរាយបញ្ជាក់ខាងលើ $\ \Omega H=3\Omega G$

\ \Omega H=\Omega G+GH

គេបាន

\ \Omega G+GH=3\Omega G\quad \Rightarrow \color {magenta}{GH=2\Omega G}

បន្ទាត់អយល័រក្នុងកូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ

តាង A, B, C ជាមុំកំពូលនៃត្រីកោណ និងតាង x : y : z គឺជាចំនុចផ្សេងគ្នាក្នុងកូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ នោះគេបានសមីការចំពោះបន្ទាត់អយល័រគឺ

\ \sin 2A\sin(B-C)x+\sin 2B\sin(C-A)y+\sin 2C\sin(A-B)z=0

ម្យ៉ាងវិញទៀតគេអាចតំណាងបន្ទាត់អយល័រជាអនុគមន៍ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t ។ ផ្តើមចេញពីផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ (ជាមួយនឹងកូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ $\ \cos A:\cos B:\cos C$ ) និងអរតូសង់ (ជាមួយនឹងកូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ $\ \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B)$ រាល់ចំនុចនៅលើបន្ទាត់អយល័រ លើកលែងតែអរតូសង់ចេញ ផ្ទៀងផ្ទាត់នឹងទំនាក់ទំនង៖

\ \cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B

ចំពោះគ្រប់ t ។

ឧទាហរណ៍៖

ទីប្រជុំទំងន់ = $\ \cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B$
ផ្ចិតរង្វង់អយល័រ = $\ \cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B$
ចំនុចឡុងសម (De Longchamps point) = $\ \cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B$
ចំនុចអយល័រអនន្ត = $\ \cos A-2\cos B\cos C:\cos B-2\cos C\cos A:\cos C-2\cos A\cos B$

ចំនុចពិសេសនៅលើបន្ទាត់អយល័រ

ចំនុចពិសេសនៅលើបន្ទាត់អយល័ររួមមាន៖

១) ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ

២) អរតូសង់នៃត្រីកោណ

៣) ទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ

៤) ចំនុចដឺឡុងសម (De Longchamps point)

ចំនុចដឺឡុងសមនៃត្រីកោណគឺជាចំនុចឆ្លុះនៃអរតូសង់ធៀបនឹងផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ។ ចំនុចនេះតាងដោយអក្សរ L ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនង

\ AL^{2}-BC^{2}=BL^{2}-CA^{2}=CL^{2}-AB^{2}

៥) ផ្ចិតរង្វង់៩ចំនុច (រង្វង់៩ចំនុច = រង្វង់ចំនុច៩ = រង្វង់អយល័រ)

ផ្ចិត រង្វង់៩ចំនុចចំពោះត្រីកោណ

ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុងនិមួយៗរបស់ត្រីកោណ
ជាទំរនៃកំពស់និមួយៗដែលគូសចេញពីកំពូលទាំងបីមកកែងនឹងជ្រុងឈមនិមួយៗ
ជាចំនុចកណ្តាលរវាងអរតូសងនិងកំពូលត្រីកោណ

រង្វង់ដែលកាត់តាម៩ចំនុចនេះហៅថារង្វង់៩ចំនុច។ ផ្ចិតនៃរង្វង់នេះត្រូវគ្នានឹងចំនុចកណ្តាលរវាងផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅនិងអរតូសង់នៃត្រីកោណ។

បន្ទាត់អយល័រចំពោះត្រីកោណពិសេស

១) ត្រីកោណកែង

:បន្ទាត់អយល័រចំពោះត្រីកោណកែងគឺជាបន្ទាត់ដែលកាត់តាមកំពូលដែលជាមុំកែងនិងចំនុចកណ្តាលនិងអ៊ីប៉ូតេនុស។ ករណីនេះផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណគឺស្ថិតនៅចំចំនុចកណ្តាលនៃអ៊ីប៉ូតេនុស និង អរតូសង់គឺស្ថិតនៅចំកំពូលមុំកែង។

២) ត្រីកោណសម័ង្ស

ចំពោះត្រីកោណសម័ង្ស ដោយសារតែអរតូសង់ ទីប្រជុំទំងន់ និង ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ ត្រួតស៊ីគ្នា (ស្ថិតនៅចំចំនុចតែមួយ) គេមិនអាចអោយនិយមន័យវាបានទេ។

៣) ត្រីកោណសមបាត

ចំពោះត្រីកោណសមបាត បន្ទាត់អយល័រគឺជាមេដ្យានដែលគូសចេញពីកំពូលនៃមុំចន្លោះជ្រុងដែលមានរង្វាស់ស្មើគ្នា។ ចំពោះត្រីកោណសមបាតបន្ទាត់អយល័រមានលក្ខណៈសរុបដូចខាងក្រោម៖

ជាមេដ្យានដែលឈមនឹងមុំរវាងជ្រុងដែលមានរង្វាស់ស្មើគ្នា
ជាបន្ទាត់កែងដែលគូសចេញពីកំពូលនៃមុំរវាងជ្រុងដែលមានរង្វាស់ស្មើគ្នា
ជាបន្ទាត់ពុះមុំ (បន្ទាត់ដែលពុះចែកមុំមួយជាពីរស្មើគ្នា) នៃជ្រុងកែង
ជាបន្ទាត់ពុះមុំនៃមុំរវាងជ្រុងដែលមានរង្វាស់ស្មើគ្នា

៤) ត្រីកោណផ្ចិតក្រៅ (Excenter triangle)

ត្រីកោណផ្ចិតក្រៅជាត្រីកោណដែលបង្កើតដោយផ្ចិតក្រៅ (Excenter) ទាំងបីនៃត្រីកោណ។ បន្ទាត់អយល័រនៃត្រីកោណនេះគឺជាបន្ទាត់ដែលកាត់តាមផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ និង ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្នុងត្រីកោណ។