កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

ក្រាបនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​នៅលើ​ដែនកំនត់ $\mathbb {R}$

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​គឺ​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

និមយន័យ

អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ cosh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

${\begin{matrix}\cosh :&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\\ &z&\longmapsto &{\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}\end{matrix}}$

ដែល $\ e$ គឺជាអនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកក៏មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងអនុគមន៍ស៊ីនុសក្នុងធរណីមាត្រអ៊ីពែបូលីកដែរ។

គេនិយមសរសេរ

$\cosh z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}$

លក្ខណៈទូទៅ

• អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់) ។ អាចនិយាយថាវាស្ថិតនៅក្នុងថ្នាក់ $C^{\infty }$
• ដេរីវេនៃអនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh) គឺជា អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh)

${\frac {d}{dx}}(\cosh x)=(\cosh x)'=(\sinh x)$

• ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកគឺ sinh + C ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល

$\int \cosh xdx=\sinh x+C$

• អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍គូ មានដែនកំនត់លើ $\mathbb {R}$ និងជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ $\mathbb {R} ^{+}$ ។

លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

តាមនិយមន័យនៃ​អនុគមន៍កូស៊ីនុស​និង​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក គេអាចទាញបានសមភាពដូចខាងក្រោម៖

$\ e^{z}=\cosh z+\sinh z$

$\ e^{-z}=\cosh z-\sinh z$

សមភាពនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងរូបមន្តអយល័រក្នុងត្រីកោណមាត្រ (ខ្មែរយើងភាគច្រើនអានថាអឺលែរ)​។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះកូអរដោនេ $\ (\cos t,\sin t)$ កំនត់បានរង្វង់មួយ។ $\ (\cos t,\sin t)$ កំនត់បានផ្នែកវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាបូលនិយ័តមួយ។ គេបានចំពោះ $\ t>0$

$\ \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1$

ម្យ៉ាងវិញទៀតចំពោះ $x\in \mathbb {R}$

$\cosh(ix)={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}=\cos x$

$\ \cosh x=\cos(ix)$

$\ \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

$\cosh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1+\cosh x}{2}}$

ស៊េរីតេល័រ

cosh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេមិនកំនត់ និងអាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រដូចខាងក្រោម៖

$\cosh z=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}$

តំលៃ

តំលៃមួយចំនួននៃ cosh

• $\ \cosh(0)=1$
• $\cosh(1)={\frac {e^{2}+1}{2e}}$
• $\ \cosh(i)=\cos(1)$

អនុគមន៍ច្រាស់

អនុគមន៍ច្រាស់នៃ cosh តាងដោយ arccosh ឬ arcosh ឬ $\ \cosh ^{-1}$។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយការពុះចែកអង្កត់ $\left]-\infty ;1\right[$ ។

$\operatorname {arcosh} (z)=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}})$

ចំពោះ $x\in \left[1;+\infty \right[$ cosh មានដែនកំនត់លើ $\mathbb {R}$ ហើយអនុគមន៍ច្រាស់របស់វាកំនត់ដោយ៖ $\operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

ក្រាបនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកច្រាស់ $\operatorname {arcosh} (x)$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក
• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក