ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

ក្រាបនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកលើដែនកំនត់ R

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​គឺ​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

និយមន័យ

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ sinh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

${\begin{matrix}\sinh :&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\\ &z&\longmapsto &{\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}\end{matrix}}$

ដែល $\ e$ គឺជាអនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកក៏មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងអនុគមន៍ស៊ីនុសក្នុងធរណីមាត្រអ៊ីពែបូលីកដែរ។

គេនិយមសរសេរ

$\sinh z={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}$

លក្ខណៈទូទៅ

• អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់)
• ដេរីវេនៃអនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh) គឺជា អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh)

${\frac {d}{dx}}(\sinh x)=(\sinh x)'=(\cosh x)$

• ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកគឺ cosh + C ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល

$\int \sinh xdx=\cosh x+C$

• អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍សេស​និងកើនដាច់ខាតលើ $\ \mathbb {R}$។

លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

តាមនិយមន័យនៃ​​អនុគមន៍ស៊ីនុស​​និង​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក គេអាចទាញបានសមភាពដូចខាងក្រោម៖

$\ e^{z}=\cosh z+\sinh z$

$\ e^{-z}=\cosh z-\sinh z$

សមភាពនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងរូបមន្តអយល័រក្នុងត្រីកោណមាត្រ (ខ្មែរយើងភាគច្រើនអានថាអឺលែរ)​។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះកូអរដោនេ $\ (\cos t,\sin t)$ កំនត់បានរង្វង់មួយ។ $\ (\cos t,\sin t)$ កំនត់បានផ្នែកវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាបូលនិយ័តមួយ។ គេបានចំពោះ $\ t>0$

$\ \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1$

ម្យ៉ាងវិញទៀតចំពោះ $x\in \mathbb {R}$

$\sinh(ix)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x$

$\ \sinh x=-i\sin(ix)$

$\ \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$

$\sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{2}}$

ស៊េរីតេល័រ

sinh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេមិនកំនត់ និងអាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រដូចខាងក្រោម៖

$\sinh z=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

តំលៃ

តំលៃមួយចំនួននៃ sinh

• $\ \sinh(0)=0$
• $\sinh(1)={\frac {e^{2}-1}{2e}}$
• $\ \sinh(i)=i\sin(1)$

អនុគមន៍ច្រាស់

ក្រាបនៃអនុគមន៍ $\ \operatorname {arcsinh}$

អនុគមន៍ច្រាសនៃsinh គឺជា​អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកច្រាស​តាងដោយ $\ \operatorname {arsinh}$ ឬ arcsinh ។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយកាត់ជាបំនែកអង្កត់ $\left]-\infty i;-i\right[$ និង $\left]i;+\infty i\right[$ ។

$\operatorname {arcsinh} (z)=\ln(z+{\sqrt {1+z^{2}}})$

ចំពោះ $x\in \mathbb {R}$sinh មានដែនកំនត់លើ $\mathbb {R}$ ហើយអនុគមន៍ច្រាស់របស់វាកំនត់ដោយ៖

$arcsinh(x)=ln\left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក
• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក