តង់សង់អ៊ីពែបូលីក

ក្រាបនៃអនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​លើដែនកំនត់ $\ \mathbb {R}$

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​​គឺ​​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

និយមន័យ

អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​ត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ tanh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

${\begin{matrix}\tanh :&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\\ &z&\longmapsto &{\frac {\sinh(z)}{\cosh(z)}}\end{matrix}}$

ដែល $\ \sinh$ គឺជា​អនុគមន៍ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​ និង $\ \cosh$ គឺជា​អនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​។ និយមន័យនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹង​អនុគមន៍តង់សង់​ដែរ ដែលតង់សង់គឺជាផលធៀបរវាងស៊ីនុស និង កូស៊ីនុស។

អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh អាចសរសេរដោយប្រើប្រាស់​​អនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែល៖

$\color {blue}\tanh(z)={\frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}}={\frac {e^{2z}-1}{e^{2z}+1}}$

លក្ខណៈទូទៅ

• អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (tanh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់) ។
• ដេរីវេនៃអនុគមន៍​​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (tanh) គឺ ${\frac {1}{\cosh ^{2}}}$ ។
• ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីកគឺ $\ln \left(\cosh \right)+C$ ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល​។
• អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh ជាអនុគមន៍សេស មានដែនកំនត់លើ \mathbb R និងជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាត​។
• tanh ជាចំលើយមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ងស្យែល ${\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f$ ។

ស៊េរីតេល័រ

tanh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេអនន្ត

$\tanh ^{(n)}(0)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}\left\langle {n \atop k}\right\rangle$

ដែល $\left\langle {n \atop k}\right\rangle$ ជាចំលាស់នៃ $\ \{1,...,n\}$

tanh អាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះគ្រប់ចំនុចដូចខាងក្រោម៖

$\tanh z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {2z^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\tanh ^{(n)}(0)}{(2n+1)!}}z^{2n+1}$

ពន្លាតជាប្រភាគតៗគ្នា

tanh ជាអនុគមន៍កំនត់លើ $\ \mathbb {R}$ និងអាចពន្លាតជាប្រភាគបន្តបន្ទាប់ដូចតទៅ៖

$\tanh x={\frac {x}{1+{\frac {x^{2}}{3+{\frac {x^{3}}{5+\cdots }}}}}}$

តំលៃ

តំលៃមួយចំនួននៃ tanh

• $\ \tanh(0)=0$
• $\tanh(1)={\frac {e^{2}-1}{e^{2}+1}}$
• $\ \tanh(i)=i\tan(1)$

អនុគមន៍ច្រាស់

ក្រាប​នៃ​អនុគមន៍ artang (x)

អនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh តាងដោយ artanh ឬ arctanh ឬ $\ \tanh ^{-1}$ (ហៅថា​អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីកច្រាស់)។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយការពុះចែកអង្កត់ $\left]-\infty ;-1\right[$ និង $\left]1;+\infty \right[$ ។

$\operatorname {artanh} (z)={\frac {1}{2}}\left(\ln(1+z)-ln(1-z)\right)$

ចំពោះ $x\in \left]-1;1\right[$ អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh មាន​ដែនកំនត់​លើ $\mathbb {R}$ ហើយ​អនុគមន៍ច្រាស់​របស់​វា​កំនត់ដោយ៖

$artanh(x)={\frac {1}{2}}ln\left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$ ។

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក